Aloha :)
Die bei deiner Idee verwendeten Erwartungswerte \(E(x_i)\) gibt es leider nicht. Es gibt keinen Erwartungswert für das Eintreten eines einzelnen Ereignisses \(x_i\), nur eine Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert bezieht sich immer auf die ganze Stichprobe bzw. auf die ganze Verteilung. Hier kommst du wohl um eine detailliertere Betrachtung nicht herum.
$$\langle x\rangle=\sum\limits_{k=0}^nk\cdot\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$Der Summand für \(k=0\) ist Null, also können wir die Summe bei \(k=1\) starten lassen. Für den Binomialkoeffizient nutzen wir \(\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\)...
$$\langle x\rangle=\sum\limits_{k=1}^nk\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}p^k(1-p)^{n-k}=n\sum\limits_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}p^k(1-p)^{n-k}$$Jetzt führen wir eine Indexverschiebung der Summe durch und lassen die Summe nicht mehr von \(k=1,\ldots,n\) laufen, sondern von \(k=0,\ldots,n-1\). Dafür müssen wir bei den Summanden das \(k\) um \(1\) erhöhen:
$$\langle x\rangle=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{(k+1)-1}p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}$$$$\phantom{\langle x\rangle}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$\phantom{\langle x\rangle}=np\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} p^k(1-p)^{(n-1)-k}=np\left(p+(1-p)\right)^{n-1}=np\quad\checkmark$$Beim vorletzten Schritt konnten wir die Summe auf Grund des binomischen Lehrsatzes$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$ersetzen durch: \(\left(p+(1-p)\right)^{n-1}=(1)^{n-1}=1\).
