Wie heißt der ursprüngliche Bruch?

Question

Aufgabe:

Wenn man zum Zähler eines Buches 5 addiert und vom Nenner 1 subtrahiert, hat der Bruch den Wert von 2. Wenn man zum Zähler desselben Bruches 3 addiert und zum Nenner 4 addiert, erhält man einen Bruch mit dem Wert 2/3. Wie heißt der ursprüngliche Bruch?

Answer 1

Aloha :)$$\frac{z+5}{n-1}=2\quad;\quad\frac{z+3}{n+4}=\frac{2}{3}$$Die ersten Bruchgleichung formen wir zu einer einfachen Gleichung um:$$\left.\frac{z+5}{n-1}=2\quad\right|\;\cdot(n-1)$$$$\left.z+5=2(n-1)\quad\right|\;\text{rechts ausrechnen}$$$$\left.z+5=2n-2\quad\right|\;-2n-5$$$$\left.z-2n=-7\quad\right.$$Das machen wir auch mit der zweiten Bruchgleichung:$$\left.\frac{z+3}{n+4}=\frac{2}{3}\quad\right|\;\cdot3(n+4)$$$$\left.3(z+3)=2(n+4)\quad\right|\;\text{links und rechts ausrechnen}$$$$\left.3z+9=2n+8\quad\right|\;-2n-9$$$$\left.3z-2n=-1\quad\right.$$Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten:$$\left.(3z-2n)-(z-2n)=-1-(-7)\quad\right|\;\text{links und rechts ausrechnen}$$$$\left.3z-2n-z+2n=-1+7\quad\right|\;\text{links und rechts zusammenfassen}$$$$\left.2z=6\quad\right|\;:2$$$$z=3$$$$3-2n=-7\quad\Rightarrow\quad2n=10\quad\Rightarrow\quad n=5$$Der ursprüngliche Bruch ist also \(\boxed{\frac{3}{5}}\).

Answer 2

Wenn man zum Zähler eines Buches 5 addiert und vom Nenner 1 subtrahiert, hat der Bruch den Wert von 2. Wenn man zum Zähler desselben Bruches 3 addiert und zum Nenner 4 addiert, erhält man einen Bruch mit dem Wert 2/3. Wie heißt der ursprüngliche Bruch?

(z + 5) / (n - 1) = 2 → z + 5 = 2·(n - 1)

(z + 3) / (n + 4) = 2/3 → 3·(z + 3) = 2·(n + 4)

Ich komme beim Lösen auf: z = 3 ∧ n = 5

Der Bruch lautet also 3/5.