Aloha :)
Es geht um die Berechnung der eingeschlossenen Fläche:
~plot~ x=0; 0 ; (8^(2/3)-x^(2/3))^(3/2) ; [[-0,5|9|-0,5|9]] ~plot~
Die Ränder der Fläche sind durch$$x=0\quad;\quad y=0 \quad;\quad x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$festgelegt. Wir müssen jedoch auch die Punkte im Inneren betrachten:$$x\ge0\quad;\quad y\ge0 \quad;\quad x^{2/3}+y^{2/3}\le a^{2/3}$$Jetzt heißt es in der Aufgabenstellung, wir sollen "am besten" das Integral erst in kartesischen Koordinaten aufstellen. Da das aber außer Schreibarbeit exakt null Mehrwert hat, gehe ich direkt zur Variablentransformation:$$\binom{x}{y}=\binom{\rho\cos^3\phi}{\rho\sin^3\phi}$$Die Intervalle für \(\rho\) und \(\phi\) überlegen wir uns so:$$x^{2/3}+y^{2/3}=\rho^{2/3}\cos^2\phi+\rho^{2/3}\sin^2\phi=\rho^{2/3}\stackrel{!}\le a^{2/3}\quad\Rightarrow\quad\rho\in[0\,;\,a]$$$$x\ge0\;\land\;y\ge0\quad\Rightarrow\quad\phi\in\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$$Durch die Wahl der neuen Koordinaten \((\rho,\phi)\) an Stelle von \((x,y)\) müssen wir das Flächenelement \(dx\,dy\) in das Flächenelement \(d\rho\,d\phi\) umrechnen. Das funktioniert mit der Jacobi-Determinante:
$$dx\,dy=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial\rho} & \frac{\partial x}{\partial\phi}\\\frac{\partial y}{\partial\rho} & \frac{\partial y}{\partial\phi}\end{vmatrix}\,d\rho\,d\phi=\begin{vmatrix}\cos^3\phi & -3\rho\cos^2\phi\sin\phi\\\sin^3\phi & 3\rho\sin^2\phi\cos\phi\end{vmatrix}\,d\rho\,d\phi$$$$\phantom{dx\,dy}=(3\rho\sin^2\phi\cos^4\phi+3\rho\cos^2\phi\sin^4\phi)\,d\rho\,d\phi$$$$\phantom{dx\,dy}=3\rho\sin^2\phi\cos^2\phi(\cos^2\phi+\sin^2\phi)\,d\rho\,d\phi$$$$\phantom{dx\,dy}=3\rho\left(\sin\phi\cos\phi\right)^2\,d\rho\,d\phi=3\rho\left(\frac{1}{2}\sin(2\phi)\right)^2\,d\rho\,d\phi=\frac{3}{4}\rho\sin^2(2\phi)\,d\rho\,d\phi$$Die gesuchte Fläche ist damit:$$F=\int\limits_0^ad\rho\int\limits_0^{\pi/2}d\phi\,\frac{3}{4}\rho\sin^2(2\phi)=\int\limits_0^a\frac{3}{4}\rho\,d\rho\int\limits_0^{\pi/2}\sin^2(2\phi)\,d\phi$$Wir bestimmen die beiden Integrale getrennt voneinander:$$I_1=\int\limits_0^a\frac{3}{4}\rho\,d\rho=\frac{3}{4}\left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^a=\frac{3}{8}a^2$$$$I_2=\int\limits_0^{\pi/2}\sin^2(2\phi)\,d\phi=\int\limits_0^{\pi/2}\underbrace{\sin(2\phi)}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin(2\phi)}_{=v}\,d\phi$$$$\phantom{I_2}=\underbrace{\left[\underbrace{-\frac{1}{2}\cos(2\phi)}_{=u}\cdot\underbrace{\sin(2\phi)}_{=v}\right]_0^{\pi/2}}_{=0}-\int\limits_0^{\pi/2}\underbrace{-\frac{1}{2}\cos(2\phi)}_{=u}\cdot\underbrace{2\cos(2\phi)}_{=v'}\,d\phi$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2(2\phi)\,d\phi=\int\limits_0^{\pi/2}\left(1-\sin^2(2\phi)\right)\,d\phi$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_0^{\pi/2}1\,d\phi-\int\limits_0^{\pi/2}\sin^2(2\phi)\,d\phi=\frac{\pi}{2}-I_2$$$$\Rightarrow\quad I_2=\frac{\pi}{2}-I_2\quad\Rightarrow\quad 2I_2=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad I_2=\frac{\pi}{4}$$Wir bauen alles zusammen:$$F=I_1\cdot I_2=\frac{3}{8}a^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{32}a^2$$
