Konvergenz überprüfen für eine Folge

Question

Aufgabe:

Konvergenz Überprüfung

Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz. n∈ℕ.

\( \frac{(-1)n}{\sqrt[3]{n}} \)

Könnte mir jemand in kleinen Schritten erklären, wie man das macht? Ich verstehe das mit der Wurzel nicht.

Answer 1

Hallo

 statt dritte Wurzel schreib n^1/3, dann steht da -(n/n^1/3)=-n^2/3

es sei denn da steht (-1)^n/n^1/3, wenn n beliebig groß wird dann auch die dritte Wurzel also geht die Folge gegen 0

überprüfen : es gibt ein N so dass |(-1)^n/n^1/3-0|<ε, für alle n>N dann hast du 1<ε^3*n oder N>=1/ε^3

Gruß lul

Answer 2

Sei \(a_n:=\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}\), es ist zu vermuten, dass \(a_n\to 0\) für \(n\to \infty\).

Für alle \(\varepsilon >0\), wähle \(N>\frac{1}{\varepsilon^3}\). Dann gilt für alle \(n> N\):$$\Large \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}\right|=\frac{1}{n^{1/3}}< \frac{1}{N^{1/3}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{\varepsilon^3}\right)^{1/3}}=\varepsilon . \quad  \Box$$