Kreis sehne berechnen

Question

Aufgabe:

Die Sehne AB eines Kreises ist um 1cm länger als der Radius

Die sehne hat vom Mittelpunkt des kreises den Abstand 2cm

Nun soll ich die länge der Sehne und auch die Läng vom Radius berechnen

Answer 1

r sei der gesuchte Radius, dann gilt: 2²+$(\frac{r+1}{2})^{2}$ = r². Löse nach r auf.

Text erkannt:

9

Answer 2

Hallo,

mache zunächst eine Zeichnung:

Die Sehne ist die Strecke $AD$, der Radius $r$ ist $r=|MD| = |BD|$ und $|MS|$ ist der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt $M$: $|MS|=2$. Das Streckenstück $|AB|$ hat die Länge $1$. $\triangle SDM$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Also gilt hier der Satz des Pythagoras, was dann auch zur Größe von $r$ führt:$$\begin{aligned} \left(\frac{r+1}{2}\right)^2 + 2^2 &= r^2 \\ r^2 +2r +1 +16 &= 4r^2 \\ 3r^2 - 2r - 17 &= 0 \\ r_{1,2} &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 \cdot 17}}{2 \cdot 3} \\ r_1 &= \frac 13(1 + 2\sqrt{13}) \approx 2,737 \end{aligned}$$Die geometrische Konstruktion geht wie folgt:

Zeichen das rechtwinklige Dreieck $\triangle ABC$ mit den Katheten $|AB|=1\text{cm}$ und $|AC| = 2 \cdot 2\text{cm} = 4\text{cm}$. Konstruiere für die Strecke $AB$ den Kreis des Appolloinos (grün) für das Verhältnis $2 \div 1$. Bem.: $|CD| = 2r = 2|BD|$. Dieser schneidet die Gerade durch $AB$ über $B$ hinaus in $D$.

$CD$ ist der Durchmesser des gesuchten Kreises. Die Strecken $|MD|$ und $|BD|$ sind so lang wie der gesuchte Radius $r \approx 2,74 \text{cm}$.