Wann (in welchem Jahr) werden in beiden betrachteten Szenarien die 100 000 Tiere Marke übertroffen?

Question

Problem/Ansatz:

Bitte um Hilfe

Augabe:

Rothirschpopulation in der Schweiz

Der Rothirsch war 1850 fast ausgerottet. Im Jahre 1970 betrug die Population etwa \( 12^{\prime} 000 \) Individuen, im Jahre 2010 waren es \( 30^{\prime} 000 \) Tiere. Wir setzen den Nullpunkt der Betrachtung (x = 0) im Jahre 1970

(a) Beschreibe die Entwicklung der Population mit Hilfe einer Funktionsgleichung und skizziere diese anschliessend im Koordinatensystem, wenn du
i. von linearem Wachstum ausgehst. ( 2 Punkte)
ii. von exponentiellem Wachstum ausgehst. ( 3 Punkte)

(b) Wann (in welchem Jahr) werden in beiden betrachteten Szenarien die 100 '000 Tiere Marke übertroffen? (2 Punkte)

Eine weitere Möglichkeit ist es, die Entwicklung mit folgender Gleichung zu beschreiben:

$$ f(x)=\frac{48^{\prime} 000}{1+3 \cdot 0.96^{x}} $$

(c) Skizziere den Graphen von \( f(x) \) mit Hilfe der table-Funktion des Taschenrechners im Koordinatensystem und beschreibe in \( 2-3 \) Sätzen die Entwicklung. (4 Punkte)

(d) In welchem Jahr wird nach diesem Modell die \( 40^{\prime} 000 \) Tiere Marke übertroffen?
\( (2 \text { Punkte }) \)

 

Answer 1

(a) Lineares Wachstum sollte klar sein, erläutere ich hier nicht weiter.

Exponentielles Wachstum. Die Funktion des exponentiellen Wachstums \( a e^{\lambda t } \) muss für \( t=0 \) den Wert 12000 ergeben. Daraus folgt \( a \) und für den Wert \( t = 40 \) den Wert 30000. Da \( a \) bekannt ist, kann ma \( \lambda \) berechnen.

(b) Mit den gefundenen Werten für \( a \) und \( \lambda \) kann nun die Zeit \(t \) berechnet werden, für die gilt \( a e^{\lambda t } = 100000 \)

(c)

(d) Löse $$ \frac{48000}{1+3 0.96^t} = 40000 $$ nach \( t \) auf.