Die Nullstellen des charakteristischen wie des Minimal-Polynoms sind die Eigenwerte
der Matrix. Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert ist, d.h.
wenn 0 keine Nullstell des Minimalpolynoms ist. Dieses hat offenbar die einzigen
Nullstellen \(\lambda=-3\) und \(\mu=1\), welches somit die Eigenwerte von \(A\) sind.
\(A\) ist Nullstelle des Minimalpolynoms \(X^3+X^2-5X+3\), also gilt:
\(A^3+A^2-5A+3E_n=0\) Multiplikation mit \(A^{-1}\) liefert
\(A^2+A-5E_n+3A^{-1}=0\), also \(A^{-1}=\frac{1}{3}\cdot(-A^2-A+5E_n)\).
\(E_n\) bedeutet dabei die \(n\times n\)-Einheitsmatrix.