die Eigenwerte von A bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei $$A \in R^{n*n}, n\geq3$$ mit Minimalpolynom $$g_{A}(X)= (X+3)(X-1)^{2}$$ . folgern Sie, dass A invertierbar ist und bestimmen Sie Koeffizienten $$α_{0},α_{1},α_{2}\in R$$ ,sodass

$$A^{-1}=α_{2}A^{2}+α_{1}A+α_{0}I_{n}$$

geben Sie zudem die Eigenwerte der Matrix A an

Ich bin mir total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll. Wäre cool, wenn jemand das lösen könnte :)

Answer 1

Die Nullstellen des charakteristischen wie des Minimal-Polynoms sind die Eigenwerte

der Matrix. Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert ist, d.h.

wenn 0 keine Nullstell des Minimalpolynoms ist. Dieses hat offenbar die einzigen

Nullstellen \(\lambda=-3\) und \(\mu=1\), welches somit die Eigenwerte von \(A\) sind.

\(A\) ist Nullstelle des Minimalpolynoms \(X^3+X^2-5X+3\), also gilt:

\(A^3+A^2-5A+3E_n=0\) Multiplikation mit \(A^{-1}\) liefert

\(A^2+A-5E_n+3A^{-1}=0\), also \(A^{-1}=\frac{1}{3}\cdot(-A^2-A+5E_n)\).

\(E_n\) bedeutet dabei die \(n\times n\)-Einheitsmatrix.