Ableitung von f'(x)=1+(f(x))²

Question

Heyho,

Ich weiß, dass die komplette Aufgabe schon gepostet ist, mich interessiert aber nur ein kleiner Teil davon.

 

Gegeben ist als 1. Ableitung:  f'(x)=1+(f(x))²

Ich bin ich mit meiner Hausaufgabennachhilfe ein wenig im "Streit".

Er hat die Ableitungen wie folgt:

f'(x)=1+(f(x))²

f''(x)=2(f(x))¹

f'''(x)=2(f(x))

Mit dem Argument, dass man f(x) mit z substituieren kann.


Ich widerrum würde hier die Kettenregel anwenden, f(x) ja anzunehmenderweise mehr als nur eine Zahl ist und hätte dementsprechend:

f'(x)=1+(f(x))²

f''(x)=2*(f(x))*(1+(f(x))²) .. Bin mir grad nicht sicher, ob das richtig abgeleitet ist, da ich ein wenig verwirrt bin...


Meine Frage ist auch vielmehr, welche Methode hier eher sinnvoll wäre?

 

Danke für eventuelle Anregungen,

Lain

Answer 1

Du hast recht. Das ganze wird mit der Kettenregel abgeleitet.
Das ganze kann man z.B. mit einer Differenzialgleichung lösen. Eine Lösung könnte sein

f(x) = tan(x)

f'(x) = 1/cos(x)^2 = (sin(x)^2 + cos(x)^2)/cos(x)^2 = 1 + tan(x)^2

Jetzt bildet doch mal die 2. Ableitung.

Comments

Danke schonmal, also wäre das für die 2. und 3. Ableitung wie folgt?

f'(x)=1+(f(x)²)

f''(x)=2*(f(x))*(1+(f(x))²)

 

und für f'''(x) hier meine Rechnung, obwohl ich nicht sicher bin, dass ich mich nicht verrechnet habe:

u*v*w = u'vw + uv'w + uvw'

u = 2 ⇔ u' = 0

v = f(x) ⇔ v' = 1+(f(x)²)

w = 1+(f(x))² ⇔ w' = 2*(f(x))*(1+(f(x))²)

u'vw + uv'w + uvw' :

0*v*w + 2*(1+(f(x)²)*(1+(f(x))²) + 2*f(x)*2*(f(x))*(1+(f(x))²)

= ( 0 ) + 2*((1+(f(x)²))² + 4 * (f(x))² * (1+(f(x))²

= 2* (1+ (f(x))⁴) + (4*(f(x)²) * (4+4*(f(x))²)

= 2 + 2*(f(x))⁴) + (16*(f(x))²) + (16*(f(x))⁴)

= 18*(f(x))⁴) + 16*(f(x))²) + 2 ???

 

Wenn ich grad totalen Blödsinn gerechnet habe, schiebt es bitte auf die Uhrzeit...

Danke an denjenigen, der dies eventuell mal nachrechnet und mich korrigiert?

 

LG,

Lain

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Ich glaube es wäre günstiger hier immer zu vereinfachen.

f'(x) = 1 + f(x)^2

f''(x) = 2·f(x)·(1 + f(x)^2) = 2·f(x) + 2·f(x)^3

f'''(x) = 2·(1 + f(x)^2) + 6·f(x)^2·(1 + f(x)^2) = 6·f(x)^4 + 8·f(x)^2 + 2

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Ich verstehe nicht, wie du auf die 3. Ableitung kommst... Produktregel?

Ich bekomme da was anderes raus... fehlt da eventuell im  ersten Teil das u? (Wenn man von u'v+v'u ausgeht?)... Kannst du das erläutern? Sry!


LG,
Lain

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Es kann gut sein, dass ich mich verrechnet habe. Aber ich habe die 2. Ableitung ausmultipliziert, sodass ich dort kein Produkt mehr habe. Von daher brauche ich dann auch keine Produktregel anwenden.

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Übliches Vorgehen ist:

f'(x) = 1+f(x)^2

f''(x) = 2f(x)*f'(x)

etc.

 

Es muss die Kettenregel und damit die innere Ableitung berücksichtigt werden.

Hier kann man natürlich (wie von Mathecoach gemacht) wieder f'(x) einsetzen und es ergibt sich:

f''(x) = 2f(x) (1+f(x)^2)

 

Grüße

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Ihm ging das wohl um die 3. Ableitung. Ich prüfe die etwas später noch mal wenn ich mehr Zeit habe.

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Das macht letztlich keinen Unterschied. Gleiches Verfahren:

f''(x) = 2f(x) + 2f(x)^3

f'''(x) = 2f'(x) + 6f(x)^2*f'(x)

Es kann wieder f'(x) = 1+f(x)^2 eingesetzt werden:

 

f'''(x) = 2(1+f(x)^2) + 6f(x)^2*(1+f(x)^2) = 2+2f(x)^2 + 6f(x)^2 + 6f(x)^4 = 2+8f(x)^2+6f(x)^4

Das entspricht dem von Dir genannten :).

 

Grüßle

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Hallo.

Ich habe irgendwie vollkommen übersehen, dass es sich nach dem ausmultiplizieren um eine einfache Addition handelt.

Ich werde das selbst nochmal nachrechnen, jetzt da ich es realisiert habe :-).

Lg und vielen Dank an Euch beide :-)
Die Lain