Aufgabe:
Bestimmen sie die Lösungen z € ℂ:
z^8 + 2 * (cos (43π) + i * sin (43π)) + i = 0
Problem/Ansatz:
Habe erstmal zu:
z8 = 1-2i umgestellt, wenn ich nun die Moivre'sche Gleichung Anwende sollte ich auf 8 Lösungen kommen.
|z^8| = 12+22 = 5
α = -arcos(51) = Irgendeine krumme Zahl und irgendwie habe ich das Gefühl ich habe etwas übersehen, durch den Winkel α ist das unendlich viel schreiberei.
z0 = 165 ∠ (8−arcos(51)+0∗2π } )
= 165 * ( cos(8−arcos(51)) + i * sin (8−arcos(51))
= 1,095259113 - 0,1525507646*i
z1 das Gleiche nur mit i = 1, d.h + 360°
usw.
Moivre'sche Gleichung damit ihr sie nicht Nachschlagen müsst:
xn = |z| ∠ α ⇔ x € { n∣z∣ * ∠ (nα+i∗2π } ) i = {0,1...,n-1}
|z| ∠ α ist bei uns definiert als |z| * ( cos(α) + i * sin(α))