Moivresche Gleichung, Komplexe Gleichungen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Lösungen z € ℂ:

z^8 + \( \sqrt{2} \) * (cos (\( \frac{3π}{4} \)) + i * sin (\( \frac{3π}{4} \))) + i = 0

Problem/Ansatz:

Habe erstmal zu:

z^8 = 1-2i umgestellt, wenn ich nun die Moivre'sche Gleichung Anwende sollte ich auf 8 Lösungen kommen.

|z^8| = \( \sqrt{1^{2} + 2^{2}} \) = \( \sqrt{5} \)

α = -arcos(\( \frac{1}{\sqrt{5}} \)) = Irgendeine krumme Zahl und irgendwie habe ich das Gefühl ich habe etwas übersehen, durch den Winkel α ist das unendlich viel schreiberei.

z0 = \( \sqrt[16]{5} \) ∠ (\( \frac{-arcos(\frac{1}{\sqrt[]{5}}) + 0 * 2π}{8} \) } )

     = \( \sqrt[16]{5} \) * ( cos(\( \frac{-arcos(\frac{1}{\sqrt{5}})}{8}) \) + i * sin (\( \frac{-arcos(\frac{1}{\sqrt{5}})}{8}) \)

     = 1,095259113 - 0,1525507646*i

z1 das Gleiche nur mit i = 1, d.h + 360°

usw.

Moivre'sche Gleichung  damit ihr sie nicht Nachschlagen müsst:

\( x^{n} \)  = |z| ∠ α  ⇔ x € { \( \sqrt[n]{|z|} \) * ∠ (\( \frac{α + i * 2π}{n} \) } ) i = {0,1...,n-1} 

|z| ∠ α  ist bei uns definiert als |z| * ( cos(α) + i * sin(α))

Answer 1

Ich nehme nicht an, dass die Lösungen in "exakter" Form (mittels Wurzeltermen für die Real- und Imaginärteile) angegeben werden müssen - oder etwa doch ?

Die 8 Lösungspunkte z_k (für k = 1,2, ... ,8) liegen wie die Eckpunkte eines regelmäßigen Achtecks auf dem Kreis um den Ursprung mit dem Radius 5^1/16 (den du schon ermittelt hast).

Die zu den einzelnen Lösungen gehörigen Polarwinkel bilden eine arithmetische Zahlenfolge mit der Differenz δ = π/4 .

Comments

Wie bist du auf \( \frac{π}{4} \) gekommen?

In der Aufgabe steht die Lösungen sind in Normalform, Polarform und in der Gaußschen Ebene einzuzeichnen.

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Wie bist du auf  ^π/₄  gekommen?

Regelmäßiges  8-Eck:   ^{2 π} / ₈ = ^π / ₄

In der exakten Darstellung in Normalform hat die erste Lösung (diejenige, die du in dezimal genäherter Form schon angegeben hast) einen Term mit dreifach geschachtelten Wurzeln, den ich hier lieber gar nicht wiedergebe. Der entsprechende LaTeX - Term würde locker eine ganze Zeile füllen, und ihn korrekt einzugeben würde mindestens eine Viertelstunde dauern.