Wie kann ich den Grenzwert berechnen?

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{x^2*e^x}{(e^x-1)^2} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Aufgabe berechnen? wie gehen die einzelnen schritte worauf muss ich achten?

Answer 1

Hi,

das x² hat gegenüber dem e^{x} keine Chance und kann ignoriert werden. Damit ist der Nenner deutlich stärker als der Zähler und der Grenzwert lässt sich mit 0 angeben.

Grüße

Comments

das x² hat gegenüber dem e^x keine Chance und kann ignoriert werden.

Diese Aussage ist das Produkt langjähriger Erfahrung.
Sowas hilft Fragestellern nicht immer.

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Da hast Du vermutlich recht. Wenn man diese Erfahrung nicht hat oder verwenden darf kann man über l'Hospital (mehrfach anwenden) zum gleichen Schluss kommen.

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Danke für die Antwort aber ich kann mir grad nichts drunter vorstellen

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Probier zweimal l'Hospital anzuwenden

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genau das ist mein Problem. ich will l´hospital anwenden aber ich weiß nicht wie.

also ich muss das ganze ja ableiten, Nenner: die e funktion bleibt erhalten die x^2 wird zu 2x  Zähler: da würde die 1 wegfallen und die e funktion bleibt wieder erhalten.

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Gehe zurück in die Zeit, als du deine Hochschulzugangsberechtigung erworben hast, und bilde die Ableitungen mit der damals kennengelernten Produktregel und/oder Kettenregel.

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Ich bin fertig mit der Ausbildung und versuche in meiner Freizeit matheaufgabe zu lösen das wars  aber  trotzdem vielendank

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Beachte bitte die Produkt- und Kettenregeln. Außerdem hast Du Zähler und Nenner vertauscht ;).

Hier eine Idee meinerseits mit einer Vereinfachung zuvor -> \((e^x-1)^2 = (e^x)^2\)

\(\frac{x^2\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{x^2}{e^x}\)

Zähler ableiten:

\(z'(x) = 2x\)

Nenner ableiten:

\(n'(x) = e^x\)

Das hilft uns leider noch nicht eine endgültige Aussage treffen zu können, also nochmals:

\(z''(x) = 2\)

\(n''(x) = e^x\)

Das kann man nun erkennen. Kann man auch so aufschreiben

\(\lim \frac{x^2\cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \lim \frac{x^2\cdot e^x}{(e^x)^2}\)

\(= \text{l'H} = \lim \frac{2x}{e^x}\)

\(= \text{l'H} = \lim \frac{2}{e^x} = 0\)

Einverstanden?

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Hier eine Idee meinerseits mit einer Vereinfachung zuvor ->

Wo sind da 2e^x und 1 geblieben?

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Wie meinen?       .

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Du hast geschrieben, dass (e^x-1)²=(e^x)² wäre.

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Ja? Mit dem Vorsatz, dass das als Vereinfachung erachtet wird.

Answer 2

= lim (e^2*x^2)/(e^2x -2e^x+1)

kürzen mit e^x:

lim x^2/(e^x-2+1/e^x) = x^2/(e^x-2)

L'Hospital 2-mal anwenden:

2x/e^x → 2/e^x = 0 für x gg.oo