Aloha :)
Um die Masse \(M\) der Halbkugel zu bestimmen, musst du ihre Dichte \(\rho\) über das Volumen integrieren:$$M=\int\limits_V\rho(x,y,z)\,dV=\int\limits_V\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\,dV$$Zur Berechnung des Integrals verwenden wir Kugelkoordinaten:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$Wegen \(x^2+y^2+z^2\le4\) hat die Halbkugel den Radius \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{4}=2\). Die Forderung \(z\ge0\) sorgt dafür, dass wir nur die Halbkugel oberhalb der xy-Ebene betrachten, führt aber zu der Einschränkung, dass \(\vartheta\le\frac{\pi}{2}\) sein muss. Das heißt für die Integrationsgrenzen:$$r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
Damit können wir das Integral vo oben umschreiben:$$M=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\frac{1}{r^2}\,r^2\sin\vartheta=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin\vartheta$$$$\phantom{M}=\left[r\right]_0^2\,\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\pi/2}=(2-0)(2\pi-0)(-0+1)=4\pi$$
