Wert folgender Reihe berechnen (Zwei Summenzeichen) ∑∑(n über m) (1/2)^{m+n}

Question

Wert folgender Reihe berechnen:

Aufgabe:

$$\sum_{ n = 0 }^{ \infty }{ \sum_{ m = 0 }^{ n }{ \binom n m \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{ m+n } }}$$

Ich habe dies nun soweit umgeformt:

$$\sum_{ n = 0 }^{ \infty }{ \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{ n } \sum_{ m = 0 }^{ n }{ \left( \frac{ n! }{ m!(n-m)! } \right) \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{ m }} }$$

Ich weiß aber nicht wie ich damit weiterarbeiten kann. Ich habe es versucht mit dem Schema dieser Aufgabe zu machen, jedoch ohne Erfolgt.

Answer 1

Tipp: Nach dem allgemeinen binomischem Lehrsatz gilt für \(n\in\mathbb N\)

$$\left(\frac32\right)^n=\left(1+\frac12\right)^n=\sum_{m=0}^n\binom nm\cdot1^{n-m}\cdot\left(\frac12\right)^m=\sum_{m=0}^n\binom nm\cdot\left(\frac12\right)^m.$$

Damit reduziert sich das Problem auf die Berechung des Wertes einer geometrischen Reihe.

Bemerkung: Für die Darstellung eines Binomialkoeffizienten verwende \binom nm.