Aufgabe:
Geheimtext: LJNJNUJNJNYBNZXDVLLVARJIQUAFMIGLSNDAXAECKHAHFOAOAHFRUTODN
Der Klartext beginnt mit: LITERATUREMP
Der Klartext wurde mit Hilfe einer (3,3)-Matrix über ℤ26 berechnet (Hill-Verschlüsselungsverfahren).
Bestimmen Sie die für die Verschlüsselung genutze Matrix.
Problem/Ansatz:
LITERATUR als Zahlen, A=0, B=1,...
LIT, ERA, TUR = \( \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \\ 19 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 4 \\ 17 \\ 0\end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 19 \\ 20 \\ 17 \end{pmatrix} \)
LJN, JNU, JNJ = \( \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 9 \\ 13 \\ 20 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 9 \\ 13 \\ 9 \end{pmatrix} \)
Meine Idee:
Die inverse Matrix des Geheimwortes (LJNJNUJNJ) * der Matrix des Klartextes (LITERATUR) ergibt die Schlüsselmatrix.
\( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 11 & 9 & 13 \\ 9 & 13 & 20 \\ 9 & 13 & 9 \end{pmatrix} \)-1 * \( \begin{pmatrix} 11 & 8 & 19 \\ 4 & 17 & 0 \\ 19 & 20 & 17 \end{pmatrix} \) ( mod 26 )
Det(\( \begin{pmatrix} 11 & 9 & 13 \\ 9 & 13 & 20 \\ 9 & 13 & 9 \end{pmatrix} \)) = -579 = 19 mod 26
Jetzt suche ich das Inverse Element der Determinante.
Unter Anwendung des Erweitertet euklidischen Algorithmus komme ich auf 11 mod 26 ⇒
11 mod 26 ist das Inverse Element zu 19 mod 26.
Jetzt brauche ich die Adjunktive von \( \begin{pmatrix} 11 & 9 & 13 \\ 9 & 13 & 20 \\ 9 & 13 & 9 \end{pmatrix} \), da komme ich auf
\( \begin{pmatrix} 25 & 23 & 5 \\ 4 & 10 & 11 \\ 17 & 11 & 6 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 25 & 4 & 17 \\ 23 & 10 & 11 \\ 5 & 11 & 6 \end{pmatrix} \)T = AdjT
Auf die Inverse Matrix H-1 komme ich durch H-1 = det(x-1 ) * Adj T (mod 26)
= \( \begin{pmatrix} 15 & 18 & 5 \\ 19 & 6 & 17 \\ 3 & 17 & 14 \end{pmatrix} \)
Also sollte die Schlüsselmatrix wie oben beschrieben durch:
\( \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 15 & 18 & 5 \\ 19 & 6 & 17 \\ 3 & 17 & 14 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 11 & 8 & 19 \\ 4 & 17 & 0 \\ 19 & 20 & 17 \end{pmatrix} \) ( mod 26 )
zu berechnen sein.
Meine Schlüsselmatrix sieht wie folgt aus:
\( \begin{pmatrix} 20 & 6 & 6 \\ 10 & 22 & 0 \\ 3 & 21 & 9 \end{pmatrix} \), ist halt nur leider falsch.
Rechne ich Schlüsselmatrix * LIT = \( \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \\ 19 \end{pmatrix} \) sollte eigentlich
LJN also gleich \( \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 13 \end{pmatrix} \) rauskommen, natürlich noch mod 26.
Tut es aber nicht.