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Gesucht sind zwei natürliche Zahlen: Addiert man das dreifache von der zahl x zu der zahl y so lautet das Ergebnis 38.

Multipliziert man jedoch x mit 0,5 y so ergibt das 56.

Bitte mit ausführlichem Lösungsweg .
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3 x + y = 38

x * 0,5 y = 56

Aus der ersten Gleichung ergibt sich

y = 38 - 3 x

Setzt man nun den Term 38 - 3 x in die zweite Gleichung für y ein, so erhält man:

x * 0,5 * ( 38 - 3 x ) = 56

Ausmultiplizieren:

<=> 19 x - 1,5 x 2 = 56 

<=> - 1,5 x 2 + 19 x - 56 = 0

Mitternachtsformel anwenden

oder zu Fuß weiterrechnen, dann:

<=> - 1,5 x 2 + 19 x = 56

durch - 1,5 dividieren:

<=> x 2 - ( 38 / 3 ) x = - 112 / 3

Quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren:

<=> x 2 - ( 38 / 3 ) x + ( 19 / 3 ) 2 = - 112 / 3 + ( 19 / 3 ) 2

Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomoischen Formal als Quadrat schreiben, rechte Seite vereinfachen:

( x - ( 19 / 3 ) ) 2 = - 336 / 9 + 361 / 9 = 25 / 9

Wurzel ziehen:

x - ( 19 / 3 ) = +/- √ 25 / 9 = +/- 5 / 3

Lösungen bestimmen:

x1 = - ( 5 / 3 ) + ( 19 / 3 ) = 14 / 3

x2 = ( 5 / 3 ) + ( 19 / 3 ) = 24 / 3 = 8

Da nur natürlichzahlige Lösungen gesucht sind, entfällt x1

Die erste Zahl ist also x = 8

Die zweite findet man durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen (ich nehme die erste):

3 x + y = 38

<=> y = 38 - 3 x = 38 - 3 * 8 = 14

Die zweite Zahl ist also y = 14

Probe:

Das Dreifache von 8 ist 24 , addiert man 24 zu 14 erhält man 38 (korrekt).

Multipliziert man 8 mit 0,5 * 14 = 7 , so erhält man 8 * 7 = 56 ( auch korrekt).

Avatar von 32 k
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hi

3x + y = 38
1/2xy = 56

xy = 112

3x + y = 38 | *x
3x^2 + xy = 38x
3x^2 + 112 = 38x
3x^2 - 38x + 112 = 0
mitternachtsformel anwenden
x1 = 14/3
x2 = 8

y bestimmen

xy = 112
y = 112/x2
y = 112/8
y = 14

die gesuchten natürlichen zahlen sind x = 8 und y = 14

Avatar von 11 k

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