Question

Für welche zusammengesetzten Zahlen n hat n!/n² einen Rest?

Answer 1

Zunächst lässt sich kürzen: $$\dfrac{n!}{n^2}=\dfrac{(n-1)!}{n}$$ Dann folgt aus dem Satz von Wilson (der dieses Ergebnis weder entdeckte noch bewies, sondern wiederentdeckte) für natürliche Zahlen \(n \ge 2\): $$(n-1)!\equiv {\begin{cases}n-1{\pmod n},&{\mathrm {falls}}\ n\ {\mathrm {Primzahl}},\\2{\pmod n},&{\mathrm {falls}}\ n=4,\\0{\pmod n},&{\mathrm {sonst}}.\end{cases}}$$ Demzufolge ist 4 die einzige zusammengesetzte Zahl, die bei der angegebenen Division einen Rest lässt.

(Das lässt sich vielleicht auch ohne den Satz von Wilson irgendwie elegant lösen.)

Answer 2

Für welche zusammengesetzten Zahlen n hat n!/n² einen Rest?

Nur für \(n=4\).

Ist \(n=a \cdot b \) mit \(a,b\, \gt 1\) und o.E.d.A. \(a \lt b \), dann ist $$(n-1)! = 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot a \cdot ... \cdot b \cdot ... \cdot (n-1)$$und somit $$\frac {n!}{n^2} = \frac {(n-1)!}{n} = \frac {(n-1)!}{a \cdot b}\space \in \mathbb N$$Ist \(a=b=p\) mit \(p \in \mathbb P\) und \(p \gt 2\) dann ist $$(n-1)! = 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot p \cdot ... \cdot 2p \cdot ... \cdot (n-1)$$