Wie funktioniert die Boolesche Algebra und wie zeichnet man einen Schaltplan dazu?

Question

Aufgabe:

Stellt euch vor Ihr wollt eine Lichtanlage installieren.
• Diese hat 3 Inputs (x,y,z) die an oder aus sein können.
• Das Licht soll an sein wenn entweder nur z an ist oder y und z an sind, oder x und z an
sind oder x und y an sind oder all (x und y und z) an sind.
• Könnt ihr den Schaltplan (aus UND, ODER und NOT Verknüpfungen) zeichnen der den
gewünschten Output erzeugt

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Art von Mathematik noch nicht gehabt in der Schule und jetzt an der Hochschule muss ich das können.

Ich habe mich eingelesen, dass es 3 Arten von Verknüpfungen gibt:

Dann habe ich mir versucht das so aufzuschreiben, was im Text steht:

z + yz + xz +xy + xyz Stimmt das so und wie zeichne ich das am besten in einen Schaltplan?

Ich wäre froh, wenn mir das jemand in Ruhe erklären könnte, da ich da kein grosses Wissen besitze zu diesem Thema. Bitte nicht zu kompliziert, sondern von den Grundlagen her von diesem Thema erklären.

Gruss
Atorian

Comments

Nur z solltest du nicht als "z" schreiben.

Nur z bedeutet z alleine und nicht x oder y.

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Also wie meinst du das denn? Als was sollte ich z sonst schreiben?

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Der beschriebene Input lässt sich wie folgt schreiben (19 Verknüpfungen):
x’y’z + x’yz + xy’z + xyz’ + xyz

• Dies lässt sich der Booleschen Rechenregeln vereinfachen zu (Die Schaltung braucht also
nur zwei Verknüpfungen):
z + xy

Das ist die Lösung des Professors. Wie kommt er auf das? Und was bedeuten diese Hochstriche da?

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Das hat der Professor doch richtig vorgemacht

Wenn du schon eine Lösung hast warum versuchst du etwas anderes aufzustellen. Du solltest dann lieber probieren die Lösung des Professors zu verstehen.

Warum hat der Professor also x’y’z und nicht nur x aufgeschrieben?

Dies lässt sich der Booleschen Rechenregeln vereinfachen

Ja kannst du selber mal probieren seine Gleichung mit den Rechenregeln zu vereinfachen?

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Und was bedeuten diese Hochstriche da?

Er scheint euch verschwiegen zu haben das das auch für not steht. Also 'y bedeutet "not y".

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Oh, das wusste ich gar nicht.

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Was ich nicht verstehe ist, wie du das vereinfacht hast mit den Regeln? Könntest du das vielleicht schrittweise erklären, damit ich das einmal gesehen habe.

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Schaltalgebra in 5 Minuten. Viel Glück.

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Auch wenn ich die Videos sehe, verstehe ich nicht, wie ich diesen langen Termin vereinfachen muss.

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Wie muss man diesen Termin vereinfachen?

x’y’z + x’yz + xy’z + xyz’ + xyz Wo fängt man an?

Answer 1

Hallo Atorian,

Wenn dort steht

Das Licht soll an sein wenn entweder nur z an ist oder y und z an sind, ...

dann kann man den Zustand "Licht an" mit \(l\) bezeichnen und "Licht aus" mit \(\bar l\) oder \(l'\). Was man da für Zeichen für die Operatoren benutzt ist eine Sache der Vereinbarung.

Für den Operator 'UND' kann man \(\cdot\) oder \(\land\) benutzen

Für den Operator 'ODER' kann man \(+\) oder \(\lor\) verwenden

Und für das 'NICHT' bzw, die Negation das \('\) oder \(\bar {\phantom z} \)

Benutzen wir die Symbole, die anscheinend Dein Professor angegeben hat, so ist

"Licht an, wenn nur \(z\)": \(l = x' \cdot y' \cdot z = x'y'z\) und

"Licht an, wenn entweder nur \(z\) an ist oder (nur) \(y\) und \(z\) an": \(l = x' \cdot y' \cdot z + x' \cdot y \cdot z = x'y'z + x'yz\)

Und alles zusammen sähe dann eben so aus: $$l = x'y'z + x'yz + xy'z + xyz' + xyz$$wenn Du das vereinfachen möchtest, musst Du die Rechenregeln der Boolschen Algebra kennen. Hier kommt das Distributivgesetz zum Tragen - bzw. man kann auch sagen: wir klammern was aus. Ausklammern solltest Du einen Ausdruck, der möglichst häufig vorkommt. Und das ist hier das \(z\). Ich habe das hier mal gelb markiert:

$$\begin{aligned} l &= x'y' \colorbox{#ffff00}{z} + x'y \colorbox{#ffff00}{z} + xy' \colorbox{#ffff00}{z} + xyz' + xy \colorbox{#ffff00}{z} \\ &= (x'y' + x'y + xy' + xy) \colorbox{#ffff00}{z}+ xyz' \end{aligned}$$

Im nächsten Schritt beschäftige ich mich nur mit dem Ausdruck \(x'y' + x'y\). Hier kommt das \(x'\) zweimal vor. Ich klammere wieder aus $$x'y' + x'y = x'(y'+ y)$$

und hinter dem \(x'\) steht nun \(y+y'\), was ja \(y\) ODER NICHT \(y\) bedeutet. Und das ist immer WAHR, egal welchen Wert das \(y\) annimmt (Komplementärgesetze). Also ist: $$x'y' + x'y = x'(y' + y) = x'\cdot 1 = x'$$

Das gleiche kann man mit den nächsten beiden Termen machen ...

$$\begin{aligned} l &= x'y'z + x'yz + xy'z + xyz' + xyz \\ &= (x'y' + x'y + xy' + xy) z + xyz' \\ &= (x'(y'+y) + x(y'+y))z + xyz' \\&= (x' + x)z + xyz' \\&= z + xyz'  \end{aligned}$$

An dieser Stelle fällt mir kein Gesetz ein, was man unmittelbar anwenden kann. Jedoch kann man sich an Hand einer Wertetabelle überlegen, dass immer $$a + ba' = a+ b$$ gilt. Lege Dir selber mal eine Wertetabelle an, um das zu überprüfen.

Und dann ist der Rest einfach $$ \begin{aligned} l &= z + xyz' \\ &= z + xy \end{aligned} $$

Falls noch Fragen übrig bleiben, so melde Dich bitte. Wegen der Schreibweise siehe auch hier.

Comments

Ich danke dir sehr für diese ausführliche Erklärung. Das hat mir sehr geholfen.

Der letzte Schritt ist mir noch nicht so ganz klar.

An dieser Stelle fällt mir kein Gesetz ein, was man unmittelbar anwenden kann. Jedoch kann man sich an Hand einer Wertetabelle überlegen, dass immer
a+ba′=a+b
gilt. Lege Dir selber mal eine Wertetabelle an, um das zu überprüfen.

Wie stellt man am besten eine Wertetabelle zu diesen Themen auf? Ich weiss nicht, wie ich das aufzeichnen soll.

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Die Wertetabelle für den Ausdruck \(a+ba'\): $$\begin{array}{cc|c|c}a& b& a+ba'& a+b\\ \hline 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}$$Vorne in die ersten beiden Spalten schreibt man alle Kombinationen, die die Parameter \(a\) und \(b\) annehmen können. Bei \(n\) Parametern sind das \(2^n\) Kombinationen - hier sind es \(2^2=4\). Und dann überlegt man sich bei einer Kombination in einer Zeile was der Ausdruck \(a+ba'\) oder der Ausdruck \(a+b\) für einen Wert annehmen kann.

Das Ergebnis ist hier, dass beide Ausdrücke äquivalent sind.

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Ich danke dir sehr! Du hast mir beides ganz verständlich erklärt und ich habe es verstanden.

Mein Matheprofessor wollte uns ins kalte Wasser werfen und hat uns dieses Thema als Selbststudium gegeben und ich kam gar nicht draus. Aber jetzt verstehe ich es besser.

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Ich frage mich ob man einen offensichtlichen Ausdruck wie  x′y′ + x′y + xy′ + xy nicht gleich zu WAHR zusammenfassen kann. Weil der Term nun mal alle Kombinationen aus x und y abdeckt.

So wie die gesamte relative Häufigkeit in einer Vierfeldertafel immer 1 ist.

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Ich frage mich ob man einen offensichtlichen Ausdruck wie x′y′ + x′y + xy′ + xy nicht gleich zu WAHR zusammenfassen kann.

Ja natürlich - war auch mein erster Gedanke. Aber darum ging es ja nicht. Es ging doch darum, Atorian zu zeigen, wie man mit Anwendung der boolschen Rechenregeln so einen Ausdruck vereinfacht.

Answer 2

Das Licht soll an sein wenn entweder nur z an ist
oder y und z an sind,
oder x und z an
oder x und y an sind
oder all (x und y und z) an sind.

Ich denke das ist.

(x * y) + z

Du könntest jetzt mal eine Verknüpfungstabelle machen und prüfen.

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Hallo lieber Der_Mathecoach

Ich habe jetzt lang rumgerechnet und ich schaffe es nicht die Rechenregeln so anzuwenden, dass ich die Aufgabe lösen kann. Könntest du es mir bitte zeigen.