Eine Wertetabelle zu einem komplexen booleschen Ausdruck erstellen, wie?

Question

Aufgabe:

\( q=x_{1} \overline{\left(x_{2} \vee x_{3}\right)} \vee\left(\left(x_{1} x_{2} \vee \bar{x}_{3}\right) x_{1}\right) \)

Erstellen Sie eine Wertetabelle.

Problem/Ansatz:

Wie geht man da am besten vor?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde den Ausdruck zunächst etwas vereinfachen. Dazu schreibe ich gerne \(\cdot\) an Stelle von \(\land\) und \(+\) an Stelle von \(\lor\), weil ich dann mit der Punkt-vor-Strich-Regel viele Klammern sparen kann:$$q=x_1\overline{(x_2+x_3)}+((x_1x_2+\overline x_3)x_1)$$Mit der de-Morgan-Regel ist \(\overline{(x_2+x_3)}=\overline x_2\,\overline x_3\) und den zweiten Summand kann man "ausmultiplizieren":

$$q=x_1\,\overline x_2\,\overline x_3+\overbrace{x_1\,x_1}^{=x_1}\,x_2+\overline x_3\,x_1=x_1x_2+x_1\,\overline x_2\,\overline x_3+\overline x_3\,x_1$$$$\phantom{q}=x_1x_2+x_1\,\overline x_3\cdot\underbrace{(\overline x_2\,+1)}_{=1}=x_1x_2+x_1\overline x_3=\boxed{x_1(x_2+\overline x_3)}$$

Die Wertetabelle sieht also so aus:$$\begin{array}{r}x_1 & x_2 & x_3 & x_2+\overline x_3 & q=x_1(x_2+\overline x_3)\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0& 1 & 0 &0\\0 & 1& 0 & 1 &0\\0 & 1 & 1 & 1 &0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\1 & 0& 1 & 0 &0\\1 & 1& 0 & 1 &1\\1 & 1 & 1 & 1 &1\end{array}$$

Comments

Ich habe es ähnlich gemacht wie du mit der Umformung. Vielen Dank!

Answer 2

Mache am besten zu jedem größeren Teilterm eine Spalte,

erst mal je eine für $$x_1  x_2   x_3 $$

und dann eine für $$x_1\overline{(x_2 ∨ x_3)}$$

und dann eine für

$$x_1x_2 ∨ \overline{x_3}$$

Dann diese teilweise zusammenfassen etwa zu

$$(x_1x_2 ∨ \overline{x_3})x_1$$

und zuletzt den ganzen Term

$$x_1\overline{(x_2 ∨ x_3)}∨(x_1x_2 ∨ \overline{x_3})x_1$$

Wenn dir das noch zu unübersichtlich ist, kannst du auch noch weitere Teilterme extra betrachten.