Question

darf ich diese Umformung machen, auch wenn sich das d/dt auf das g bezieht?

$$\int \limits_{0}^{\infty}t \frac{d}{dt}g dt=\int \limits_{0}^{\infty}gdt$$

oder muss ich das dt einer Ableitung oder eines Integrals immer da raus lassen?
VG

Answer 1

Aloha :)

Du darfst den Faktor \(t\) unter dem Integral nicht vernachlässigen. Betrachte dazu die folgende Ableitung mit der Produktregel:$$\frac{d}{dt}(\,t\cdot g\,)=1\cdot g+t\cdot \frac{dg}{dt}\quad\Rightarrow\quad t\cdot\frac{dg}{dt}=\frac{d}{dt}(\,t\cdot g\,)-g$$Damit kannst du das Integral wie folgt umschreiben:$$\int t\,\frac{dg}{dt}\,dt=\int\frac{d}{dt}(t\cdot g)\,dt-\int g\,dt=t\cdot g-\int g\,dt+\text{const}$$Ob das Integral konvergiert kann man ohne Kenntnis weiterer Eigenschaften von \(g\) nicht sagen.

Answer 2

Bei der Integrandenfunktion lässt du das d/dt weg.

Und was war hier mit dem t passiert?

Vielleicht stellst du die Frage mal im Sachzusammenhang. Also die Aufgabe in der du das so rechnen möchtest.