Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung für x

Question

Aufgabe: Lösen Sie diese Gleichung

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge \( L \) der folgenden Gleichung für \( x \in \mathbb{R} \).
\( x^{\operatorname{ld} x-6}=3 \)
LÖsung
\( \left.\left\{e^{\left(3 \ln (2)-\sqrt{\left(9 \ln (2)^{2}+\ln (3) \ln (2)\right)}\right.}\right)_{, \mathrm{e}}\left(3 \ln (2)+\sqrt{\left(9 \ln (2)^{2}+\ln (3) \ln (2)\right)}\right)\right\} \)

Das Erste, das ich gemacht habe war den Logarithmus zu einem natürlichen umzuwandeln. Das wäre dann ja: x^((ln(x)/ln(2))-6) =3 dann auf das ganze den Logarithmus anwenden und weiter komm ich nicht

Answer 1

Hallo

1, multipliziere mit x^6

2. ersetzt links x durch x=e^ln(x) , dann ln auf beide Seiten anwenden.

endlich ln(x)=z und die quadratische Gleichung lösen

Gruß lul

Comments

Ich bin jetzt hier angekommen:

\( \frac{ln(x)}{ln(2)} \) *ln(x)+ln(-6)=ln(3)

stimmt das soweit?

Answer 2

Aloha :)

$$\left.x^{\operatorname{ld}x-6}=3\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(x^{\operatorname{ld}x-6}\right)=\ln3\quad\right|\quad\ln(a^b)=b\ln a$$$$\left.(\operatorname{ld}x-6)\ln x=\ln3\quad\right|\quad\operatorname{ld} x=\frac{\ln x}{\ln2}$$$$\left.\left(\frac{\ln x}{\ln2}-6\right)\ln x=\ln3\quad\right|\quad\text{Klammer ausrechnen}$$$$\left.\frac{\ln^2 x}{\ln2}-6\ln x=\ln3\quad\right|\quad\cdot\ln2$$$$\left.\ln^2 x-6\ln2\cdot\ln x=\ln2\cdot\ln3\quad\right|\quad 6\ln2=\ln(2^6)=\ln64$$$$\left.\ln^2 x-\ln64\cdot\ln x=\ln2\cdot\ln3\quad\right|\quad -\ln2\cdot\ln3$$$$\left.\ln^2 x\,\underbrace{-\ln64}_{=p}\cdot\ln x\,\underbrace{-\ln2\cdot\ln3}_{=q}=0\quad\right|\quad \text{pq-Formel}$$$$\left.\ln x=\frac{\ln64}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\ln64}{2}\right)^2+\ln2\cdot\ln3}\quad\right|\quad\ln64=\ln(8^2)=2\ln8$$$$\left.\ln x=\ln8\pm\sqrt{\ln^28+\ln2\cdot\ln3}\quad\right|\quad\ln 8=\ln(2^3)=3\ln2$$$$\left.\ln x=3\ln2\pm\sqrt{9\ln^22+\ln2\cdot\ln3}\quad\right.$$Jetzt nur noch \(e^\cdots\) und du hast die Lösung.

Comments

wow vielen Dank! :)