Ziehe teilweise die Wurzel: √( a/(b^4) )

Question

Aufgabe:

Ziehe teilweise die Wurzel: \( \sqrt{ \frac{a}{b^4} } \)

Problem/Ansatz:

Muss man im Ergebnis bei \( b^4 \) Betragstriche setzen, wenn nein, warum nicht.

Comments

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Answer 1

Hallo,

da \(b^2>0\) für alle \(b\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\) gilt:$$\sqrt{\frac{a}{b^4}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^4}}=\frac{\sqrt{a}}{|b^2|}=\frac{\sqrt{a}}{b^2}$$ Was soll der Betrag positiv machen, wenn \(b^2\) nicht negativ werden kann? Anders sieht das aus bei \(\sqrt{x^2}=|x|\). Hier dürfen die Betragsstriche nicht fehlen, wenn \(x\in \mathbb{R}\).

Answer 2

Hallo,

es gilt $$\sqrt{\frac{a}{b^4}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^4}}=\frac{\sqrt{a}}{b^2}.$$ Die Betragsstriche müssen nicht gesetzt werden, weil \(b^2\) immer positiv ist. Das liegt daran, dass jede negative, reelle Zahl multipliziert mit sich selbst wieder positiv ist:
Sei \(x\in\mathbb{R}\) mit \(x>0\). Dann ist \((-x)^2=(-x)\cdot (-x)=x^2\).

Du kannst die Betragsstriche natürlich trotzdem setzen, wenn du dich dann sicherer fühlst. Das ist auch nicht falsch, weil für \(x\in\mathbb{R}\) nämlich immer \(\lvert x^2 \rvert = x^2\) gilt.

Answer 3

\( \sqrt[4]{\frac{a}{b^4}} \) =\( \frac{|√a|}{b^2} \).Der Nenner ist auch ohne Betragsstriche positiv

Answer 4

b^4 ist stets positiv,
b^2 ist auch stets positv.

Beispiel
(3)^4 = 81 Wurzel daraus = 9
(-3)^4 = 81 ; Wuzel daraus = b^2 = 9

√ b^4 = b^2