Funktionsgleichung von einer punktsymmetrischen Funktion dritten Grades bestimmen

Question

brauche bei einer Aufgabe eure Hilfe! Ich glaube, dass ich schon ziemlich weit gekommen bin, komme da aber nicht mehr weiter. Hoffe ihr könnt mir helfen!

Die Aufgabe:

Eine punktsymmetrische Funktion dritten Grades besitzt im Punkt P (2/-8) eine waagerechte Tangente. Bestimmen sie die Funktionsgleichung.

f(x) = a3 * x³ + a2 * x² + a1 * x + a0     (a2 * x² und + a0 sind rot durchgestrichen)

PS → nur ungerade Exponenten

- Punkt (2/-8).   f(2) = -8    (I)

- Waagerechte Tangente f'(2) = 0   (II)

f(x) = a3 * x³ + a1 * x

f'(x) = a3 * 3 * x² + a1

(I) f(2) = a3 * 2³ + a1 * 2 = -8

(II) f'(2) = a3 * 3 * 2² + a1 = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten

Answer 1

Aloha :)

Eine punktsymmetrische Polynomfunktion hat nur ungerade Exponenten:$$f(x)=ax^3+bx$$Wir kennen den Punkt \((2|-8)\), sodass:$$-8=f(2)=8a+2b\quad\Rightarrow\quad2b=-8a-8\quad\Rightarrow\quad b=-4a-4=-4(a+1)$$was unsere Funktion weiter vereinfacht:$$f(x)=ax^3-4(a+1)x$$Außerdem hat die Funktion bei \(x=2\) eine waagerechte Tangente, also ist ihre erste Ableitung dort null:$$0=f'(2)=\left[3ax^2-4(a+1)\right]_{x=2}=12a-4a-4=8a-4\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$$Damit haben wir die Funktion gefunden:$$f(x)=\frac{1}{2}x^3-4\left(\frac{1}{2}+1\right)x=\boxed{\frac{x^3}{2}-6x}$$

~plot~ x^3/2-6x ;{2|-8} ; [[-4|4|-9|9]] ~plot~

Comments

Ist das die Lösung der Aufgabe?

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Ja, das ist die ausführlich Lösung ;)

Answer 2

Hallo,

so weit, so richtig.

Jetzt musst du nur noch das Gleichungssystem lösen.