"Mit einem einzigen Gewichtssatz der Form {2^0kg, 2^1kg,..., 2^(n-1)kg} kann man alle Gewichte 1kg, 2kg, 3kg,...,2^n -1kg zusammenstellen.
Beweise die Behauptung für alle n Element von N durch vollständige Induktion."
Wenn wir die Null noch als Gewicht hinzuziehen , können wir mit n wie oben beschriebenen sortierten Gewichten 2^n verschiedene Gewichte zusammen stellen.
Das gilt es zu beweisen.
Induktionsanfang
Ein Gewichte 2^{1-1}kg damit kann ich zwei verschieden Gewichte zusammen stellen,
0 kg und 1 kg bis 2^1-1 = 2-1 = 1 kg kann ich also die Gewichte zusammen stellen.
Induktionsannahme
Mit n Gewichten kann ich 2^n verschiedene Gewichte darstellen. Das entspricht den Zahlen von 0 bis 2^n - 1.
Nun fügen wir ein Gewicht 2^{(n+1)-1}kg hinzu.
Die oben erwähnten 2^n Gewichte können wir immer noch darstellen, doch nun können wir jeweils das neue Gewicht dazu legen oder weglassen, dadurch haben wir als doppelt soviel
$$2 *2^n =2^{(n+1)}$$
Möglichkeiten. D.h.wir können wie zu zeigen war, die Gewichte von
$$0 bis 2^{(n+1)}-1 kg$$ legen.
Induktionsschluss