Seien A,B,C Teilmengen einer Grundmenge M. Zeigen Sie...

Question

Aufgabe:

Seien \( A, B, C \) Teilmengen einer Grundmenge \( M . \) Zeigen Sie:

a) \( A \backslash B=A \cap \bar{B} \)

b) \( (A \backslash B) \times C=(A \times C) \backslash(B \times C) \)

Answer 1

a)

$$A\setminus B$$$$=\left\{ a\in A|a\notin B \right\}$$$$=\left\{ a\in M|a\in A\wedge a\notin B \right\}$$$$=\left\{ a\in M|a\in A\wedge a\in \overline { B }  \right\}$$$$=A\cap \overline { B }$$

b)

$$(AxC)\setminus (BxC)$$$$=\left\{ (a,c)\in MxM|a\in A\wedge c\in C\wedge \neg (a\in B\wedge c\in C) \right\}$$$$=\left\{ (a,c)\in MxM|a\in A\wedge c\in C\wedge (a\in \overline { B } \vee c\in \overline { C } ) \right\}$$$$=\left\{ (a,c)\in MxM|(a\in A\wedge c\in C\wedge a\in \overline { B } )\vee (a\in A\wedge c\in C\wedge c\in \overline { C } ) \right\}$$$$=\left\{ (a,c)\in MxM|a\in A\wedge c\in C\wedge a\in \overline { B }  \right\}$$$$=\left\{ (a,c)\in MxM|a\in A\wedge a\in \overline { B } \wedge c\in C \right\}$$$$=(A\setminus B)xC$$