In welchem Verhältnis teilt E die Strecke AC?

Question

Aufgabe:

Die Seite \( \overline{A B} \) eines Dreiecks \( A B C \) wird über \( B \) hinaus bis zum Punkt \( D \) so verlängert, dass \( |A D|=n \cdot|A B| \) gilt \( (n \in \mathbf{N} \wedge n>1) . \) Die Gerade durch \( D \) und den Mittelpunkt \( M \) von \( \overline{B C} \) schneidet \( \overline{A C} \) im Punkt \( E \). In welchem Verhältnis teilt \( E \) die Strecke \( \overline{A C} ? \)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir ehrlich gesagt nicht mal im Klaren, wie man hier anfangen könnte. Ich habe bis jetzt nur Zeichnungen angefertigt mit n=2 und n=3.

Ich danke Euch für jede Hilfe!

Comments

Und welches Verhältnis hast du bei n=2 und n=3 durch Messen erhalten?

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Bei n=2 hatte ich 49 : 25, bei n=3 50 : 24.

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Da hast du dich bei n=3 aber böse verzeichnet oder vermessen.

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Ich hab nochmal in Geogebra eine Skizze gemacht. Diesmal mit 2:1 bei n=2, aber 40:27 bei n=3. Kommt das schon eher hin ? Ich vermute ja, dass es 3:2 sein sollte. (Wie z.B. 39:26)

Answer 1

Ergänze BCD wie abgebildet zu einem Parallelogramm mit dem Diagonalenschnittpunkt M.

Da die Dreiecke ADE und CD'E ähnlich sind, findest du das gesuchte Verhältnis AE : EC auch zwischen anderen Längen der ähnlichen Dreiecke.

Comments

Nach dem 2. Strahlensatz gilt :

\( \frac{|AE|}{|EC|} \)=\( \frac{c+(n-1)·c}{(n-1)·c} \)=\( \frac{n}{n-1} \)

Ist das soweit richtig ?

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Das ist voll krass korrekt.

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Ist das soweit richtig ?

Ja - ist richtig.

Und noch 'n Beweis:

Die Parallele zu \(ED\) durch \(C\) (lila gestrichelt) schneidet die Verlängerung von \(AB\) in \(P\).

 

Zweimal Strahlensatz anwenden, gibt die logische Folge$$|BM_A| = |M_A C| \implies |BD| = |DP| \\ \frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|AD|}{|DP|} = \frac{n}{n-1}$$

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Ich danke Euch beiden! Und Roland auch :)

Answer 2

Zeichne ein Hilfsdreieck mit den halben Seitenlängen in das Dreieck ABC:

Dann gilt \( \frac{(n-1)·c+c/2}{b/2} \)=\( \frac{nc}{x} \). Nach x aufgelöst: x=\( \frac{bn}{2n-1} \). Dann ist x : b =\( \frac{n}{2n-1} \).