Aloha :)
Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte, die als Ergebnis der Funktionslgeichung rauskommen können. Um diese zu ermitteln, schreiben wir die Funktionsgleichung etwas um:$$y=x^2+7x+6=x^2+7x+\underbrace{\left(\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{7}{2}\right)^2}_{=0}+6$$Du fragst dich jetzt sicher, warum diese komische "Null" auftaucht. Die Zahl \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\) ist die sogenannte "quadratische Ergänzung". Dazu wird die Zahl vor dem \(x\) halbiert und anschließend quadriert. Vor dem \(x\) steht die \(7\). Die Hälfte davon ist \(\frac{7}{2}\) und das Quadrat davon ist \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\). Diese quadratische Ergänzung addieren wir zum Funktionsterm und subtrahieren sie sofort wieder, damit der Wert sich der Wert der Funktion nicht ändert. Wir addieren sozusagen eine Null.
Das Ziel von dem ganzen Theater ist, dass man den Funktionsterm nun als ein Binom schreiben kann, denn:
$$y=\underbrace{\left(x^2+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^2\right)}_{=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2}-\left(\frac{7}{2}\right)^2+6=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\underbrace{\frac{49}{4}}_{=\left(\frac{7}{2}\right)^2}+\underbrace{\frac{24}{4}}_{=6}$$$$y=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{25}{4}$$
Die quadrierte Klammer ist immer \(\ge0\). Die Funktion ist also minimal, wenn die Klammer \(=0\) ist. Daher ist der minimale Funktionswert \(-\frac{25}{4}\). Nach oben hin ist die Funktion nicht beschränkt. Wenn \(x\) beliebig groß wird, wird auch \(y\) beliebig groß. Der Wertebereich ist also:$$\mathbb W=\left[-\frac{25}{4}\,;\;\infty\right)$$
