Hallo,
kurz zum Hintergrund: Wenn es so eine Bijektion gibt, dann ist die Menge F abzählbar. Die Aufgabe sagt also: Wenn ich eine Menge F von Funktionen von N nach N habe, die abzählbar ist, dann kann das nicht die Menge aller Funktionen von N nach N sein.
Definiere: \(p: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, p(n):=g^{-1}(n)(n)+1\)
Bachte dazu: \(g^{-1}(n)\) ist eine Funktion und \(g^{-1}(n)(n)\) ihr Wert für das Argument n.
p gehört nicht zu F. Denn sonst müsste es ein \(m \in \mathbb{N}\) geben mit \(p=g^{-1}(m)\), also
$$\forall k \in \mathbb{N}:\quad p(k)=g^{-1}(m)(k)$$
Aber p ist so definiert, dass süeziell für \(k=m\) gilt: \(p(m)=g^{-1}(m)(m)+1\)
Gruß