Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ₀ und k ∈ {0, 1, 2,..., n} folgende Gleichheit gilt:

Question

1) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ₀ und k ∈ {0, 1, 2,..., n} folgende Gleichheit gilt:

\( \frac{n! }{k! * (n-k)! } \) = \( \frac{(n-1)!}{(k-1)! * (n-k)! } \) + \( \frac{(n-1)!}{k! * (n-1-k)!} \)

2)Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ₀ die Summe der Elemente der n-ten Teile des Pascalschen Dreiecks gleich 2ⁿ ist.

Answer 1

\( \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!  (n-k)! } +\dfrac{(n-1)!}{k!  (n-1-k)!} \\=     \dfrac{k(n-1)!}{k(k-1)! (n-k)! } +\dfrac{(n-1)!(n-k)}{k!  (n-k-1)!(n-k)}  \\= \dfrac{k(n-1)!}{k! (n-k)! } +\dfrac{(n-k)(n-1)!}{k! (n-k)!}\\ =\dfrac{k(n-1)!+n(n-1)!-k(n-1)!}{k!(n-k)!}\\=\dfrac{n(n-1)!}{k!(n-k)!}\\=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Answer 2

Bei 1) solltest du einen Induktionsbeweis führen.

Bei 2) genügt es, den binomischen Satz zur Entwicklung des Term (a+b)^n auf den Spezialfall a=b=1 anzuwenden.

Comments

1) ist ein Fall für eine direkte Ausrechnung der rechten Seite.

Gruß

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Auch das geht mit ein wenig Gleichnamigmachen und ausklammern.

Ich habe meinen Vorschlag nur gemacht, weil die Aufgabe auch gern als Beispielübung für Induktionsbeweise verwendet wird.

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Das würde ich gerne mal sehen - ein echter Induktionsbeweise für 1).

Klar ist natürlich, wo es einen direkten Beweis gibt, gibt es auch einen trivialen Induktionsbeweis.

Gruß