Für welches c ∈ R ist E[(X − c)2] minimal und wie groß ist dieses Minimum?

Question

X sei eine diskrete Zufallsvariable auf einem W-Raum (Ω, A, P) mit E[X²] < ∞.
Für welches c ∈ R ist E[(X − c)²] minimal und wie groß ist dieses Minimum?

Könnte mir bei der Aufgabe jemand helfen?

Answer 1

f(c) = E((x-c)^2) = E(x^2) - 2c E(x) + c^2 (folgt aus den Eigenschaften des Erwartungswertes).

f'(c) = - 2E(x) + 2c nullsetzen ergibt c = E(x)

f''(c) = 2 > 0  => bei c=E(x) liegt ein Minimum.

f(E(x)) = E((x-E(x))^2) = V(x), also die Varianz.

Man führt also einfach eine Kurvendiskussion durch, bei c=E(x) liegt das Minimum und der Wert ist V(x).

Answer 2

Aloha :)

Wir nutzen zunächst die Linearität des Mittelwertes aus und formen etwas um$$\left<(X-c)^2\right>=\left<X^2-2cX+c^2\right>=\left<X^2\right>-2c\left<X\right>+c^2$$Das Extremum finden wir dort, wo die Ableitung nach \(c\) verschwindet:$$0\stackrel!=-2\langle X\rangle+2c\implies c=\langle X\rangle$$Da die 2-te Ableitung gleich \(2\) und damit positiv ist, haben wir tatsächlich ein Minimum, wenn \(c\) gleich dem Mittelwert ist. Setzen wir dieses Minimum ein, erhalten wir die Definition der Varianz:$$\left<(X-c)^2\right>_{\text{min}}=\left<(X-\langle X\rangle)^2\right>=V(X)$$