Zeigen Sie: Die Funktion f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\exp (x)-x^{2 n} besitzt genau drei (reelle) …

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \). Zeigen Sie: Die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\exp (x)-x^{2 n} \) besitzt genau drei (reelle) Nullstellen. (Sie dürfen verwenden, dass es zu jedem \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \) ein \( x_{0} \in \mathbb{R}, x_{0}>4 \) gibt mit \( f\left(x_{0}\right)>0 \).

Answer 1

Hallo,

mal ein paar Tipps, was man machen kann.

Zunächst ist \(f(0)=1\). Für negative x ist \(f(x)\leq 1-x^{2n}\). Dies ist negativ für \(x < -1\). Also existiert eine Nullstelle in \((-1,0)\) und keine weitere für \(x \leq -1\)

Weiter ist \(f(1)=e-1>0\) und \(f(2)=e^2-4^n<0\), also liegt in \((1,2)\) eine weitere Nullstelle.

Mit dem in der Aufgabenstellung angegebenen \(x_0\) gibt es eine weitere Nullstelle in \((2,x_0)\).

Wenn man jetzt noch die Ableitung betrachtet (oder vielleicht gibt es noch andere Ideen), dann folgt, dass es keine weiteren gibt.

Gruß