Aloha :)
Die Tangente an die Funktion \(f\) soll die Form \(g_a\) haben:$$f(x)=(x^2-1)^2+x\quad;\quad g_a(x)=x+a$$Wir bestimmen zunächst alle Punkte \(x_i\), bei denen die Steigung von \(f\) gleich der Steigung von \(g\) ist.
$$\left.f'(x)\stackrel!=1\quad\right|\text{Funktion einsetzen}$$$$\left.\left(\,(x^2-1)^2+x\,\right)'=1\quad\right|\text{ableiten}$$$$\left.2(x^2-1)\cdot2x+1=1\quad\right|-1$$$$\left.4x(x^2-1)=0\quad\right|\text{3-te binomische Formel}$$$$\left.4x(x-1)(x+1)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$x_1=-1\;;\;x_2=0\;;\;x_3=1$$
Nun bestimmen wir die Gleichungen der Tangenten mit Steigung \(f'(x_i)=1\) in den Punkten \((x_i|y_i)\):
$$\frac{y(x)-y_i}{x-x_i}=f'(x_i)=1\implies y(x)-y_i=x-x_i\implies y(x)=x+(y_i-x_i)$$Ein Vergleich mit der "Soll"-Geraden \(g\) zeigt uns, dass \(a=y_i-x_i\) sein muss. Damit haben wir 3 mögliche Werte für den Parameter \(a\) gefunden:
$$a_1=y_1-x_1=f(-1)-(-1)=-1+1=0$$$$a_2=y_2-x_2=f(0)-0=1-0=1$$$$a_3=y_3-x_3=f(1)-1=1-1=0$$
Weil \(a_1=a_3\) ist, sind zwei der drei Tangenten identisch, d.h. die Gerade \(y(x)=x\) ist die Tangente an den Punkt \(x_1=-1\) und die Tangente an den Punkt \(x_3=1\).
Die Tangenten sind also zusammengefasst:$$\text{bei }x_1=-1:\quad g_0(x)=x+0$$$$\text{bei }x_2=\phantom{-}0:\quad g_1(x)=x+1$$$$\text{bei }x_3=\phantom{-}1:\quad g_0(x)=x+0$$
~plot~ (x^2-1)^2+x ; x ; {-1|-1} ; {1|1} ; x+1 ; {0|1} ; [[-4|4|-3|3]] ~plot~
