5 + √(5x-1) = x lösen und Nullstellen von Funktion berechnen.

Question

Ich muss bei den zwei Aufgaben die Nullstellen berechnen.:

Aufgabe 1: \( 5+\sqrt{5 x-1}=x \)

Aufgabe 2: \( 2(x-4)-\sqrt{x+1} = 0\)

Bei der ersten Aufgabe habe ich 13 in der Lösungsmenge stehen, weiß aber nicht ob das richtig ist. Für die Zweite bin ich mir unsicher (mit eq beim GTR bin ich auf 5.25 gekommen). Kann mir jemand den ausführlichen Rechenweg für beide aufschreiben?

Answer 1

5 + √(5·x - 1) = x
√(5·x - 1) = x - 5
5·x - 1 = x^2 - 10·x + 25
x^2 - 15·x + 26 = 0
x = 13 [und x = 2]


2·(x - 4) - √(x + 1) = 0
2·x - 8 = √(x + 1)
4·x^2 - 32·x + 64 = x + 1
4·x^2 - 33·x + 63 = 0
x = 5.25 [und x = 3]

Answer 2

Hi bahamas,

a)

5+√(5x-1) = x   |quadrieren

25 + 2*5*√(5x-1) + (5x-1)= x^2

24 + 5x + 10√(5x-1) = x^2    |-5x-24

10√(5x-1) = x^2-5x-24        |quadrieren

100(5x-1) = x^4-10x^3-23x^2+240x+576

x^4-10x^3-23x^2-260x+676 = 0

Nun kann man zwei Nullstellen raten und Polynomdivision machen.

Man kommt auf x₁ = 2 und x₂ = 13

Probe mit beiden und nur x₂ = 13 bleibt übrig.

(Geht auch simpler, siehe Mathecoach)

 

b)

2(x-4) - √(x+1) = 0   |+√(x+1)

2x-8 = √(x+1)             |quadrieren

4x^2 - 32x + 64 = x+1   |-x-1

4x^2 - 33x + 63 = 0    |:4, dann pq-Formel

x₁ = 3 und x₂ = 5,25

Probe mit beiden und nur x₂ = 5,25 bleibt übrig.

 

Grüße

Answer 3

5 + √(5x-1) = x

1. Schritt: Isoliere die Wurzel

√(5x-1) = x -5

2. Schritt: quadrieren

5x-1 = x^2 - 10x + 25

3. Schritt: Zu quadratischer Gleichung sortieren

0 = x^2 - 15x + 26

4. Schritt: Faktorisieren
0=(x-13)(x-2)

5. Schritt: Kandidaten für Lösungen ablesen

x1 = 13, x2= 2.

Probe:

5 + √(65 - 1) = 5+8=13 stimmt! x1=13 ist eine Lösung!

5 + (√(10-1)= 5 + 3= 8 ≠ 2. x2 ist nur eine Scheinlösung.

L={13}

Comments

4. Schritt Satz des Vieta finde ich gut! Sind die Lösungen dann immer die Kehrwerte von den Zahlen in den Klammern?

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Jein: Kehrwerte sind ja umgekehrte Brüche. Hier musst du nur das Vorzeichen dieser Zahlen ändern. Das geht immer, wenn auf der andern Seite vom Gleichheitszeichen 0 steht.