Matrixe angeben mit Vektoren

Question

hallo,

kann mir jemand kurz erläutern, wie man eine Matrix S einer Spiegelung angeben kann, die den Vektor p auf einen anderen Vektor q mit p(3 1) und q (-1 3) abbildet

bitte keine Lösungswege

nur die kurze Formulierung, wie man drauf kommt

danke

Answer 1

Hallo,

kann mir jemand kurz erläutern, wie man eine Matrix S einer Spiegelung angeben kann ...

Es ist natürlich hilfreich, wenn man weiß, dass im 2-dimensinonalen sich jede verzerrungsfreie lineare Abbildung aus einer Drehung und optional einer Spiegelung zusammensetzt. Eine Drehung (Rotation) um \(\alpha\) hat die Matrix$$R = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)& \cos(\alpha)\end{pmatrix}$$Und eine Spiegelung \(X\)  z.B. an der X-Achse ist$$X = \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$die Y-Koordinate wird schlicht negiert.

Und wenn man beides multipliziert, steht da die komplette Transformation \(S\)$$S = R \cdot X = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)& \sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)& -\cos(\alpha)\end{pmatrix}$$Ich kürze \(\cos \) mit \(c\) und \(\sin\) mit \(s\) ab und schreibe die komplette Transformation einfach hin:$$\begin{pmatrix}c& s\\ s& -c\end{pmatrix} \cdot p = q$$ jetzt nur die Zahlen einsetzen$$\begin{aligned} 3c + s &= -1 \\ 3s - c &= 3 \\ \end{aligned}$$führt zu einem einfachen linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten \(c\) und \(s\). Lösen und in \(S\) einsetzen. Und falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Tipp: versuche das selbe mit einer Spiegelung \(Y\) an der Y-Achse$$Y = \begin{pmatrix}-1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$$das Ergebnis ist aber dasselbe.

Gruß Werner

Comments

endlich mal jemand, der den Sinn des Helfen verstanden hat. Ich bedanke mich aus tiefstem Herzen. viele lieben dank. das kann ich jetzt viel besser auf alle Aufgaben von mir anwenden, ohne zu verzweifeln. Danke.

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@Regenbogen ich empfinde deinen Kommentar schon ein wenig angreifen den anderen Antortgebern gegenüber.
Bitte halte im Hinterkopf, dass hier niemand verpflichtet ist, dir Lösungen zu präsentieren.

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Ja stimmt. Tut mir leid. Mathe kann einen manchmal echt irre machen.

Da vergisst man manchmal, was man tut.

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hallo Werner,

eine Frage hätte ich da kurz, falls das möglich ist, dass ich eine Antwort drauf bekomme.

wäre es auch möglich, die Spiegelung an der x-Achse mit (1 0

                                                                                           0  1) zu machen und das dann so weiter auszurechnen.

danke im voraus!

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und wäre das  3c+s=-1
                      3s−c=3
hier nicht eigentlich

                      3c+s= -1

                        s-c=3

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und als Ergebnis , wenn ich das mit dem linearen Gleichungssystem löse hätte ich am ende (-1 0

         0 1) raus für die x-Achse

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... falls das möglich ist, dass ich eine Antwort drauf bekomme.

Normalerweise immer ! Ich bin aber nicht immer online ;-)

wäre es auch möglich, die Spiegelung an der x-Achse mit (1 0
                                                                                        0  1) zu machen .

Nein. \(\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}\) ist die Einheitsmatrix und die verändert gar nichts. Die Spiegelung an der X-Achse hatte ich oben beschrieben: Ich schrieb

Und eine Spiegelung \(X\)  z.B. an der X-Achse ist$$X = \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$die Y-Koordinate wird schlicht negiert.

Eine Spiegelmatrix hat immer eine negative Determinante. Bei einer reinen Spiegelung - also einer Abbildung, die die Form nicht verändert - ist die Determinante immer \(=-1\)

und wäre das 3c+s=-1
                    3s−c=3
hier nicht eigentlich
                    3c+s= -1
                      s-c=3

Nein, die \(3\) vor dem \(3c\) stammt doch vom Vektor \(q\); und der bleibt natürlich der gleiche.

Ich hatte Dir ja den Hinweis gegeben, es mit der Y-Achse zu versuchen (s.o.)$$\begin{aligned}S &= R \cdot Y = \begin{pmatrix}c& -s\\ s& c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-c& -s\\ -s& c\end{pmatrix}\end{aligned}$$Dann ist$$\begin{aligned} S \cdot p &= q \\ \begin{pmatrix}-c& -s\\ -s& c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-1\\ 3\end{pmatrix} \\ -3c- s &= -1\\ -3s + c &= 3\\ \implies S &= \begin{pmatrix}-0,6& 0,8\\ 0,8& 0,6\end{pmatrix}\end{aligned}$$und dies ist das identische Ergebnis für die Spiegelmatrix \(S\) wie oben.

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Achso okay super, danke.

Nur damit ich das ganz sicher richtig verstanden habe;

Das Ergebnis was ich raus beklommen würde wäre ja dann (1 0

                     0 -1) oder?

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Das Ergebnis was ich raus beklommen würde wäre ja dann (1 0
                  0 -1) oder?

Nein - gefragt ist doch nach der Spiegelmatrix \(S\). Wohin gegen$$X =\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$$die Spiegelung an der X-Achse ist. Nicht mehr und nicht weniger.

Und \(S\) ist$$S =\begin{pmatrix}-0,6& 0,8\\ 0,8& 0,6\end{pmatrix}$$das ist das Ergebnis! Und bei der Herleitung des Ergebnisses für \(S\) ist es es egal ob Du den Ansatz über \(R \cdot X\) - wie in meiner Antwort oben - oder \(R \cdot Y\) benutzt - wie in meinem Kommentar von heute gezeigt.

Du kannst das doch leicht überprüfen: $$\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ -1\end{pmatrix} \ne q$$ Und $$\begin{pmatrix}-0,6& 0,8\\ 0,8& 0,6\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1,8 + 0,8\\ 2,4 + 0,6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ 3\end{pmatrix} = q \space \checkmark$$Manchmal hilt auch eine Zeichnung:

\(\cos(2 \cdot 63,43°)=-0,6\) und \(\sin(2 \cdot 63,43°) = 0,8\)

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Ja stimmt, nur wenn ich das von dem System überprüfen lasse, zeigt es mir an das fliesskommazahlen nicht erlaubt sind deswegen bin ich mit nicht sicher, oder ich müsste es als Bruch umschreiben

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Ja stimmt, nur wenn ich das von dem System überprüfen lasse ...

Oh je - immer Ärger mit diesen Automaten! Du kannst es natürlich auch als Bruch schreiben (zumindest immer auf Papier!):$$S = \begin{pmatrix}-\frac35& \frac45\\ \frac45& \frac35\end{pmatrix}$$oder vielleicht liegt es auch am Dezimaltrenner. Z.B. \(0,6\) muss häufig als \(0.6\) geschrieben werden (mit Punkt '.'), damit ein Programm es als Zahl interpretiert.

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vielen lieben dank für die Hilfe. Ich muss leider dazu sagen, dass es als falsch markiert wurde die Antwort. aber das macht nichts. vielen dank nochmal. ich habe wenigstens den Vorgang solch einer Aufgabe verinnerlichen können.

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Ich muss leider dazu sagen, dass es als falsch markiert wurde

Ok - vielleicht liegt es auch an der Frage. Wie ist denn der genaue Wortlaut der Frage? Und was genau wurde als falsch markiert?

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Also die genau frage war

Geben sie die Matrix S einer Spiegelung an, die den Vektor p=(3 1) auf den Vektor q= (-1 3)

Abbildet.

Das wärs an der Aufgabenstellung nur als ich es nachgerechnet habe, kam bei mir auch das gleiche Ergebnis.

Answer 2

Stelle folgende Gleichung auf : S*p = q

Überlege dir, wie hier gespiegelt wird.

Comments

die Spiegelung ist ja bei der -1 vorhanden also die inverse

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kurze farge;

wäre dann die Lösung (0 3

                                    1 3) ?

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kurze Frage;
wäre dann die Lösung (0 3
                                  1 3) ?

Nein - das ist nie eine Spiegelung. Bei einer reinen Spiegelung bleiben die Längen erhalten. Die Spiegelung mit dem Einheitsvektor in Y$$e_y = \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$$muss also wieder die Länge von 1 haben$$\begin{pmatrix}0& 3\\ 1& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 3\end{pmatrix} \\ \left| \begin{pmatrix}3\\ 3\end{pmatrix}\right| = 3\sqrt 2 \ne 1$$Daraus folgt, dass die Quadratesumme einer Spalte der Matrix bei einer Spiegelung oder Drehung immer \(=1\) sein muss.

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Achso okay super ich überprüfe es schnell noch einmal eben.

Answer 3

Durch die Spiegelung wird p auf q abgebildet und q auf p. Das formuliert man als zwei Gleichungen.