Bild, Kern von Kompositionen

Question

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Es seien K ein Körper und φ:V→W und ψ:W→V lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V und W.

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
1) Kern (ψ∘φ)⊆Kern ψ
2) Kern (ψ∘φ)⊆Kern φ
3) Bild (ψ∘φ)⊆Bild ψ
4) Bild φ⊆Bild (ψ∘φ)
5) Bild (ψ∘φ)=Kern (φ∘ψ)

Ich bin der Meinung zu allen ein Gegenbeispiel gefunden zu haben,

also stimmt es, dass alle Aussagen falsch sind?

Answer 1

3) ist aber richtig:

Denn : Sei y∈  Bild (ψ∘φ) ==>   Es gibt x∈V mit (ψ∘φ)(v) = y

==>   ψ(φ(v)) = y also ist φ(v) ein Element, des Bild unter   ψ

gleich y ist, also folgt y ∈   Bild (ψ).

Habe nicht alle anderen überprüft.

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Ok, danke für deine Hilfe