Ah, es geht sogar viel einfacher. Jeder endliche Integritätsbereich ist schon ein Körper.
Das findet sich z.B. in Lemma 13.6 + Beispiel 13.10 im Algebra Buch von Christian Karpfinger und Kurt Meyberg.
Für den Beweis betrachtet man für ein \( a \in R \backslash \{0\} \) die Abbildung
$$ \varphi_a : R \to R, x \mapsto a\cdot x $$
Diese ist injektiv, denn für \( b, c \in R \) mit \( \varphi_a(b) = \varphi_a(c) \) ist $$ ab = ac \iff a(b-c) = 0 \iff b-c = 0 \iff b=c $$, da R eben nullteilerfrei ist. Wegen der Endlichkeit von R muss \( \varphi_a \) deshalb aber auch schon surjektiv sein. Folglich existiert ein Element \( x \in R \) mit \( ax = 1 \) und insbesondere ist somit \( a \in R^* \) und da \( a \) beliebig \( R^* = R\backslash\{0\} \) was ja gerade bedeutet, dass R ein Körper ist.
Sorry für die Verwirrung!
