Hallo,
folgende Aufgabe sei gegeben:
Bei einer Kommunalwahl treten sechs Parteien mit jeweils acht Kandidat an. Jeder Wählerin hat maximal drei Stimmen. Wahlzettel mit mehr als drei Stimmen sowie leere Wahlzettel (null Stimmen) sind ungültig.
a) Wieviele verschiedene Möglichkeiten für einen gültigen Wahlzettel gibt es, wenn jeder Kandidat maximal eine Stimme bekommen kann?
b) Wieviele verschiedene Möglichkeiten für einen gültigen Wahlzettel gibt es, wenn jeder Kandidat maximal drei Stimmen bekommen kann?
Folgende Lösungsansätze habe ich:
48 Kandidaten stehen insgesamt zur Wahl (6 Partein * 8 Kandidaten = 48)
a) Es sind 3 Fälle zu unterscheiden:
aa) Der Wähler gibt genau 1 Stimme ab. Kann jeder Kandidat (K) max. 1 Stimme bekommen ergeben sich =48 Mglk.
bb) der Wähler gibt genau 2 Stimmen ab. Jeder K kann max. 1 Stimme bekommen (Wiederholungen sind somit ausgeschlossen), wodurch sich \( \begin{pmatrix} 48\\2 \end{pmatrix} \) Mglk. ergeben.
cc) Jeder Wähler gibt genau 3 Stimmen ab. Da jeder K max. 1 Stimme bekommen kann (Wdh. ausgeschlossen), ergeben sich \( \begin{pmatrix} 48\\3 \end{pmatrix} \) Mglk.
Ergebnis ist dann für a) 48+\( \begin{pmatrix} 48\\2 \end{pmatrix} \)+\( \begin{pmatrix} 48\\3 \end{pmatrix} \)
b) Hier ist wieder eine Fallunterscheidung vorzunehmen:
aa) Jeder K bekommt max. 1 Stimme: siehe 3 Unterfälle aus a) [=aa), bb), cc)]
bb) Jeder K bekommt genau 2 Stimmen:
bb1) Jeder Wähler hat genau 1 Stimme: 0 Mglk., da kein K genau 2 Stimmen bekommt, wenn der Wähler nur 1 Stimme hat.
bb2) Jeder Wähler hat genau 2 Stimmen: 48 Mglk., da jeder K genau 2 Stimmen bekommt und jeder Wähler genau 2 Stimmen hat.
bb3) Jeder Wähler hat genau 3 Stimmen: 48 Mglk, da wie bei bb2) jeder K genau 2 Stimmen bekommt, jeder Wähler diesmal 3 Stimmen hat. D.h. er kann 2 Stimmen auf 1 K verteilen, während die 3. Stimme nicht unter dieses Ereignis (Jeder K genau 2 Stimmen) zählt.
cc) Jeder K bekommt genau 3 Stimmen:
cc1) Jeder Wähler hat genau 1 Stimme: 0 Mglk.
cc2) Jeder Wähler hat genau 2 Stimmen: 0 Mglk.
cc3) Jeder Wähler hat genau 3 Stimmen: 48 Mglk. (K bekommt 3 Stimmen, Wähler hat 3 Stimmen)
Ergebnis müsste dann ja sein: Ergebnis aus a) + bb2) + cc3) (Summenregel).
Mir wäre es erstmal wichtig zu wissen, ob euch dieser Lösungsweg plausibel ist...
