Definition der Dezimalbrüche unverständlich

Question

Hallo,

Leider verstehe ich diese Definition nicht, könnte sie mir einer erklären?

Text erkannt:

Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in} N_{0} \) eine Folge in \( \mathbb{N}_{0} \) ( d.h. \( a_{n} \in \mathbb{N} \), für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) ) und \( a_{n} \leq 9 \) für \( n \geq 1 \). Dann heiBt die Reihe \( \sum \limits_{v=0}^{\infty} \frac{a_{v}}{10^{v}} \) ein Dezimalbruch. Ein Dezimalbruch heißt eigentlich, wenn er nicht die Periode 9 hat,
d.h. wenn es kein \( n \in \mathbb{N} \), gibt, sodass \( a_{n+k}=9 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) gilt. Schreibweise: \( \quad \pm \sum \limits_{v=0}^{\infty} \frac{a_{v}}{10^{v}}=\pm a_{o}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \ldots \)

Liebe Grüße

Answer 1

Laut der Definition ist

        \(35{,}84672109 = \frac{35}{10^0} + \frac{8}{10^1} + \frac{4}{10^2} + \frac{6}{10^3} + \frac{7}{10^4} + \frac{2}{10^5} + \frac{1}{10^6} + \frac{0}{10^7} + \frac{9}{10^8}\)

Dabei ist \(a_0 = 35\), \(a_1 = 8\), \(a_2 = 4\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 7\), \(a_5 = 2\), \(a_6 = 1\), \(a_7 = 0\), \(a_8 = 9\) und \(a_n = 0\) für alle \(n > 8\).

Answer 2

Hallo

eigentlich kennst du das wenn du etwa 5,123405 hast weisst du das  ist 5 Einer+ 1 Zehntel+2 Hundertstel +... +5 Millionstel  oder

5/10^0+1/10+2/100+3/1000+4/10.000 +0/100.000+5/1000.000 ( =5123405/1000.000) also ein Bruch mit Zehnerpotenzen im Nenner 10=deci

nichts anderes steht in der Summe wobei a0=5, a1=1 usw und a6=5

das 0,99999... usw =1 ist weist du auch , denn 1/9=0,111....

und 9*1/9=1

wenn die 9 er erst nach der n ten Stelle kommen kann man sie durch 1/10^n ersetzen

Gruß lul

Comments

Hallo, vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Ich verstehe aber nicht, wie ich das dann anhand des Summenzeichens anwenden könnte.

Wärst du so nett und könntest mir das als Beispiel nochmal anhand eines summenzeichen zeigen?

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das Summenzeichen ersetzt doch nur die vielen + und Pünktchen. für mein Beispiel oben gilt : a0=5, a1=1,a2=2 a3=3 a4=4, a5=0. a6=5 ,an=0 für n>6

damit : $$5,123405=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{10^n}$$

Gruß lul