Zeigen Sie, dass die Folge an = (1/n)n

Question

Aufgabe:
a) Definieren Sie den Grenzwert einer Zahlenfolge. Zeigen Sie, dass die Folge an =  (1/n)n
Grenzwert 0 hat.

Problem/Ansatz:

Also Grenzwert bedeutet Wenn sich eine Zahlenfolge (an) mit wachsendem n beliebig dicht an einen bestimmten Wert g annähert, nennt man diese Zahl g den Grenzwert der Folge. Man sagt auch, dass die Folge gegen g konvergiert.

So weit bin ich gekommen aber wie man es zeigen  kann das weiß ich leider nicht kann einer mir bitte dabei helfen

Mg

Dilara

Answer 1

Definieren Sie den Grenzwert einer Zahlenfolge.

a ist Grenzwert einer Zahlenfolge, wenn in jeder ε-Umgebung von a alle Folgenglieder mit Ausnahme von endlich vielen liegen.

Zeigen Sie, dass die Folge a_n =  (1/n)ⁿ  Grenzwert 0 hat.

Schon (1/n)_n∈ℕ ist eine Nullfolge, Das Potenzieren mit einer natürlichen Zahl n verkleinert 1/n aber lässt es positiv. Damit ist auch ((1/n)ⁿ)_n∈ℕ eine Nullfolge,

Answer 2

lim (n → ∞) (1/n)^n

= lim (n → ∞) EXP(LN((1/n)^n))

= lim (n → ∞) EXP(n·LN(1/n))

= lim (x --> 0) EXP(1/x·LN(x))

= lim (x → 0) EXP(LN(x) / x)

Wir kümmern uns zunächst nur um den Grenzwert des Exponenten

= lim (x → 0) LN(x) / x = - ∞

Jetzt können wir damit auch den ganzen Grenzwert bestimmen

= lim (x → 0) EXP(LN(x) / x) = 0