a) Die Augensumme 7 hat beim Wurf zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit 1/6. Alle anderen Augensummen sind unwahrscheinlicher. Begründe dies, indem du ohne Anwendung der Pfadregel alle möglichen Ergebnisse in einer Tabelle notierst und anschließend abzählst.
Die Menge S der möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs "Augensumme beim Werfen zweier Würfel" ist
S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Eine Tabelle, bei der zunächst die Ergebnisse aus S und dahinter die zum jeweilgen Ergebnis führenden Augenpaare notiert sind, könnte dann so aussehen:
02 - {11}
03 - {12, 21}
04 - {13, 22, 31}
05 - {14, 23, 32, 41}
06 - {15, 24, 33, 42, 51}
07 - {16, 25, 34, 43, 52, 61}
08 - {26, 35, 44, 53, 62}
09 - {36, 45, 54, 63}
10 - {46, 55, 64}
11 - {56, 65}
12 - {66}
Da es unter Beachtung der Reihenfolge 36 verschiedene Augenpaare gibt und alle diese Augenpaare dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen, gewürfelt zu werden, handelt es sich bei den Wahrscheinlichkeiten der Paare um eine Laplace-Wahrscheinlichkeit. Abzählen ergibt nun:
P("Augensumme 7") = P({16, 25, 34, 43, 52, 61}) = 6/36 = 1/6.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 beim zweifachen Wurf des
nebenstehenden Quaders. Erläutere, warum ein Abzählverfahren wie in Teilaufgabe a)
versagt.
Die Wahrscheinlichkeiten der Augenpaare nicht würfelförmiger Quader-Würfel sind dagegen keine Laplace-Wahrscheinlichkeiten und können deshalb nicht durch Abzählen bestimmt werden. Immerhin kann man die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 berechnen:
Von den sechs Seiten des Quaderwürfels besitzen einander gegenüberliegende Seiten dieselbe Wahrscheinlichkeit, nach dem Werfen nach oben zu zeigen. Nennen wir die Wahrscheinlichkeiten der sechs Seiten einfach p, p, q, q, r und r, mehr als drei verschiedene Wahrscheinlichkeiten sind ja nicht möglich. Beachten wir außerdem noch, dass die Augenzahlen gegenüberliegender Seiten einer üblichen Konvention folgend zusammen stets 7 ergeben, so können wir tatsächlich einen Term für die gesuchte Wahrscheinlichkeit angeben.
Wie könnte der lauten?
Enthält das nicht übermittelte Bild noch die Information über die Wahrscheinlichkeiten p, q und r, so können wir P("Augensumme 7") auch noch ausrechnen.
