Normalenvektor der Ebene definiert durch A, B und C? Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Question

Bonjour à tous

Je bloque sur un exercice sur les géométries de l'espace.
Je bloque juste à partir de la deuxième question.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

voici l'exercice:

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A (1, -1,1); B (-2,1,8) et C (7,3,3)

1) a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC
  b) voir que les points A, B et C définissent un plan.

2) On nomme vecteur n (a, b, c) (avec a, b et c réels) un vecteur normal au plan (ABC)
a) Montrer que les coordonnées de vecteur vérifient le système:
      | -3a + 2b + 7c = 0
      | 6a + 4b + 2c = 0
b) Montrer que ce système est équivalent au système:
          | a = c
          | b = -2c
    c) Donner trois vecteurs normaux au plan (ABC).
      d) Comment peut-on écrire de manière générale les coordonnées d'un vecteur normal au plan (ABC)?
       

je vous remercie d'avance.

Comments

Guten Morgen alle

Ich bin bei einer Übung über die Geometrien des Raumes festgefahren.
Ich blockiere nur die zweite Frage.

Kannst du mir bitte helfen?

Hier ist die Übung:
In einem orthonormalen Koordinatensystem des Raums betrachten wir die Punkte A (1, -1,1); B (-2.1.8) und C (7.3.3)

1) a) Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren AB und AC
b) sehen Sie, dass die Punkte A, B und C eine Ebene definieren.

2) Wir nennen den Vektor n (a, b, c) (mit a, b und c real) einen zur Ebene senkrechten Vektor (ABC)
a) Zeigen Sie, dass die Vektorkoordinaten das System verifizieren:
    | -3a + 2b + 7c = 0
    | 6a + 4b + 2c = 0
b) Zeigen Sie, dass dieses System dem System entspricht:
        | a = c
        | b = -2c
  c) Geben Sie drei Vektoren senkrecht zur Ebene (ABC) an.
    d) Wie können wir die Koordinaten eines zur Ebene senkrechten Vektors (ABC) allgemein schreiben?
   
Ich danke Ihnen im Voraus.

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Punkte A (1, -1,1); B (-2.1.8) und C (7.3.3) "1) a) Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren AB und AC "

Was ist mit Koordinaten gemeint? vermutlich: "1) a) Berechnen Sie die Komponenten der Vektoren AB und AC " also einfach eine Vektordarstellung. Oder?

Also AC = (6|4|2) und AB= (-3|2|7). Vektorkomponenten untereinander schreiben.

Interpretation so ok?

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Ja. Das müsste stimmen. Alternativ kannst du auch die Punkte ins KDS einzeichnen und A mit B bzw. A mit C verbinden und hast eine Vektordarstellung im KDS. (Beachte dass Vektoren immer eine Richtung haben. Ist das die ganze Aufgabe? Weil die ist recht kurz

Answer 1

Punkte A (1, -1,1); B (-2.1.8) und C (7.3.3) "1) a) Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren AB und AC "

Was ist mit Koordinaten gemeint? vermutlich: "1) a) Berechnen Sie die Komponenten der Vektoren AB und AC " also einfach eine Vektordarstellung. Oder?

Also AC = (6|4|2) und AB= (-3|2|7). Vektorkomponenten untereinander schreiben.

Interpretation so ok?

2. " 2) On nomme vecteur n (a, b, c) (avec a, b et c réels) un vecteur normal au plan (ABC) a) Montrer que les coordonnées de vecteur vérifient le système: | -3a + 2b + 7c = 0 | 6a + 4b + 2c = 0 "

Dieses Gleichungssystem entsteht, weil das Skalarprodukt von Vektor AB mit Normalenvektor n = (a|b|c) genauso so 0 sein muss, wie das Skalarprodukt von Vektor AB mit Normalenvektor n = (a|b|c) .

Von 2a) zu 2b kommst du mit dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren.

Erster Schritt

| -3a + 2b + 7c = 0 | * 2

| 6a + 4b + 2c = 0

----------------------------------

| -6a + 4b + 14c = 0

| 6a + 4b + 2c = 0

----------------------------

+ 8 b + 16 c = 0 | : 8

b + 2c = 0

| -6a + 4b + 14c = 0

- | 6a + 4b + 2c = 0

----------------------------

12 a -12c = 0 | :12

a - c = 0

a = c

usw.

Answer 2

Ja. Dein Ergebnis müsste stimmen. Alternativ kannst du auch die Punkte ins KDS einzeichnen und A mit B bzw. A mit C verbinden und hast eine Vektordarstellung im KDS. (Beachte dass Vektoren immer eine Richtung haben. Ist das die ganze Aufgabe? Weil die ist recht kurz.

Oui ton résultat est correct, c'est tout ou as tu d'autres demandes?