Grenzquotienten berechnen hilfe

Question

Aufgabe:

h(x)=4x^2+x, x_0=2

lim_{x->x_0} \( \frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} \) (*)

Problem/Ansatz:

Ich hab für x einmal x=0 und x=-1/4 raus, wenn man h(x)=0 setzt. Welchen x Wert muss ich berechnen, damit ich die Formel (*) verwenden kann

Answer 1

Aloha :)

Das Problem beim Differentialquotienten ist, dass wir den Grenzwert \(x\to x_0\) nicht ohne Weiteres bilden können, weil wir dann durch \(0\) dividieren würden. Daher müssen wir den Bruch so umformen, dass wir \((x-x_0)\) rauskürzen können.

$$\phantom{=}\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\frac{(4x^2+x)-(4x_0^2+x_0)}{x-x_0}=\frac{4x^2-4x_0^2+x-x_0}{x-x_0}$$$$=\frac{4(x^2-x_0^2)+(x-x_0)}{x-x_0}=\frac{4\cancel{(x-x_0)}(x+x_0)+\cancel{(x-x_0)}}{\cancel{x-x_0}}=4(x+x_0)+1$$

Damit haben wir gefunden:$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\left(4(x+x_0)+1\right)=4(x_0+x_0)+1=8x_0+1$$

Speziell für \(x_0=2\) haben wir also \(f'(2)=17\).

Comments

Man soll den Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0=2\) bestimmen. Was haben die Nullstellen damit zu tun?

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Danke az0815, habe mich verlesen... korrigiere ich sofort ;)

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Aber wenn ich es mit dem Differenzientenquotienten berechnen will und nicht mit der Ableitung, was muss ich für x einsetzen? x=0 oder x=-1/4?

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Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, beide hängen daher eng miteinander zusammen. Hier sollst du ja den Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0=2\) bestimmen. Mit den Nullstellen hat diese Aufgabe nichts zu tun. Ich bin ja in dieselbe Falle getappt, was az0815 zum Glück gemerkt hat.

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Achso ok. Danke schön.