Exponentialfunktion aus zwei Punkten

Question

Aufgabe:

Der Graph der Exponenentialfunktion f(x) = a*b^x geht durch die Punkte P und Q. Bestimme a und b. Gib auch die Funktionsgleichung an.

Als Beispiel nehme ich die Punkte: P(-12|3), Q(2|18).

Problem/Ansatz:

Ich habe absolut keine Ahnung was ich da machen muss bzw. wie ich anfangen muss. Mit den vorhandenen Fragen aus der Suche kann ich leider nichts anfangen.

Im Mathebuch steht nur:

Man setzt die Koordinaten beider Punkte in die Funktionsgleichung ein und erhält zwei Gleichungen mit den Variablen a und b.

Answer 1

Der Graph der Exponenentialfunktion  geht durch die Punkte P und Q. Bestimme a und b. Gib auch die Funktionsgleichung an.

Als Beispiel nehme ich die Punkte: P(-12|3), Q(2|18).

f(x) = a*\( b^{x} \)

P(-12|3)

f(-12) = a*\( b^{-12} \)

1.) a*\( b^{-12} \)=3  →a = 3*\( b^{12} \)

Q(2|18)

f(2) = a*\( b^{2} \)

2.)a*\( b^{2} \)=18   mit   a =\( \frac{18}{b^2} \)

3*\( b^{12} \)=\( \frac{18}{b^2} \)

\( b^{14} \) = 6

b≈1,14      b^2≈1,3

a =\( \frac{18}{1,3} \)≈13,85

f(x) = 13,85*\( 1,14^{x} \)

Comments

Danke :D

Die einzelnen Schritte verstehe ich, nur mal so eine Frage zu den Graph, wie hast du den erstellt? Habe immer einen Mathe Plotter benutzt, aber ich finde keinen wo man beide Punkte eingeben kann.

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Ich benutze GeoGebra, ein kostenloser Mathematik-Werkzeugkasten .

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Die Punkte konnte ich dort eingeben, aber wie mache ich die Exponentialfunktion? TrendExp gibt nur das e an, welches ich noch nicht im Unterricht hatte.

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Ich habe dir ein Bild hergerichtet, wie es mit GeoGebra klappt:

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Ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt, wie kann man direkt in GeoGebra aus den zwei Punkten die Funktion herausfinden. Mit TrendExp kam etwas mit e raus mit dem Format a^bx und nicht ab^x. :D

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"Wie kann man direkt in GeoGebra aus den zwei Punkten die Funktion herausfinden?"

Das weiß ich leider nicht.

Answer 2

Verstehst du denn nicht, wie die Angabe im Buch gemeint ist ?

In deinem Beispiel wären die beiden Gleichungen:

(1)   a · b^-12 = 3

(2)   a · b² = 18

Um dieses Gleichungssystem aufzulösen, könnte man in einem ersten Schritt etwa mal den Quotienten betrachten (zweite durch erste Gleichung):

18 / 3 =  (a · b²) / (a · b^-12) =  ......

Comments

(1)  a · b^-12 = 3
(2)  a · b² = 18

Dies verstehe ich.

Das wiederum nicht. Wie soll ich die Gleichung auflösen? Bin da ein bisschen schlecht drin bzw. ich weiß nicht einmal wie ich anfangen soll. :(

18 / 3 =  (a · b²) / (a · b^-12)

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18 / 3 =  (a · b²) / (a · b^-12)

Division durchführen und kürzen:

6 = b¹⁴

b = \( \sqrt[14]{6} \) = 6^(1/14) ≈ 1.136

a = 3 · b¹² ≈ 13.935