Nullstellen von x * ln(x) - x = 0

Question

Aufgabe:

Nullstellen von f(x) = x * ln(x) - x bestimmen.

Problem/Ansatz:

Eine Nullstelle liegt bei

x * ln(x) - x = 0 | + x

x * ln(x) = x | : x mit x ≠ 0

ln(x) = 1 | e ^ (...)

x = e ^ 1 = e

Problem :

Der Satz vom Nullprodukt führt zu einer weiteren Nullstelle bei x = 0

Jedoch ist ln(x) an der Stelle x = 0 nicht definiert.

Ich habe das Argument gehört, dass x=0 ist auch eine Nullstelle sei, weil x * ln(x) in 0 durch 0 stetig ergänzt werden kann.

Der Limes mit x gegen Null existiert und beträgt Null.

Wolfram Alpha listet nur x = e als Nullstelle, x = 0 aber nicht.

Meine Frage lautet nun, ist x = 0 eine Nullstelle oder nicht ?

Answer 1

Der Satz vom Nullprodukt führt zu einer weiteren Nullstelle bei x = 0

Welches Nullprodukt hast du dir dazu angeschaut?

Ich habe das Argument gehört, dass x=0 ist auch eine Nullstelle sei, weil x * ln(x) in 0 durch 0 stetig ergänzt werden kann.

Dieses Argument ist falsch. Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der der Funktionswert 0 ist.

Insbesondere muss die Funktion an der Nullstelle einen Funktionwert haben. Es ist aber unerheblich, aus welchen Gründen der Funktionswert 0 ist.

Die Funktion

        \(f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}, x\mapsto \begin{cases}x^2&x\neq 13\\0&x=13\end{cases}\)

hat genau eine Nullstelle, nämlich bei \(13\).

Der Limes mit x gegen Null existiert und beträgt Null.

Das ist richtig.

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Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Answer 2

0 ist keine Nullstelle, da nicht im Definitionsbereich.

Durch stetige Ergänzung bekommt ja eine

andere Funktion.

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