Berechnen Sie f() und f^{-1}() für Funktion

Question

Aufgabe1:

f : R → R

Berechnen Sie in jedem Fall \( f([-1,1]) \) und \( f^{-1}([-1,1]) \)
(a) \( f_{1}(x):=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \geq 0 \\ x+1, & x<0\end{array}\right. \)

Aufgabe2:

Sei f: R → R die Funktion, die definiert ist durch: f (x) = x^2 - 4.

Schreiben Sie die folgenden Mengen als Intervalle, Intervallverbindungen oder endliche Mengen.

(a) f([−2, 0))

(b) f^−1({5})

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich die erste Aufgabe lösen soll.

Für die zweite Aufgabe(a) ersetze ich einfach das x durch -2 und 0, um f ([- 2, 0)) = (−4, 0] zu haben.
und für (b): f (x) = 5 => f ^ - 1 (5) = {- 3, 3}

Aber irgendwie geht es nicht für Aufgabe 1, meine Lösung für f([-1,1]) ist 0 und 0(ich hab auch x ersetzt). aber die richtige Lösung ist [−1, 1)

Wo ist mein Fehler?

Comments

Der Fehler liegt darin, dass du nicht einfach nur für x die werte einsetzen kannst. Schau mal: Betrachten wir deine funktion für x<0. Dein intervall geht von -1 bis 1. Ok dass heist für [-1,0) musst die deine werte für x+1 einsetzen. Ok für -1 ist dein Funktionswert 0 aber für 0 ist dein funktionswert 1, gut die 0 zählt nicht dazu aber dann hättest du ja gerade das halboffene Intervall [0,1) deiner Funktionswerte für das Intervall [-1,0). Dann fehlt noch [0,1] und wenn du das intervall einsetzt erhältst du grad das Intervall [-1,0] ok also gilt insgesamt [-1,1)

Answer 1

Für die zweite Aufgabe(a) ersetze ich einfach das x durch -2 und 0, um f ([- 2, 0)) = (−4, 0] zu haben.

Das funktioniert, weil die Funktion auf [−2, 0) monoton und stetig ist.

Schon bei \(f([-2, 1])\) würde das wegen fehlender Monotonie nicht funktionieren.

\( f_{1}(x):=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \geq 0 \\ x+1, & x<0\end{array}\right. \)

Hier funktioniert der Ansatz aus Aufgabe 2 nicht wegen fehlender Stetigkeit. Zeichne den Graphen der Funktion.

Comments

danke,

soll ich immer Graph für fehlender Monotonie zeichnen ?

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Zeichnen des Graphen ist nicht die Lösung.

Zeichnen des Graphen ist ein Weg, wie du überprüfen kannst, ob eine Vermutung plausibel ist.

Das gilt nicht nur für Aufgaben dieses Typs, sondern grundsätzlich wenn du Fragen über Funktionen beantworten musst.