Aloha :)
Ableitung und Integral von Termen der Form \(a^{bx}\) mit \(a>0\) kommen recht oft vor. Es macht daher Sinn, sich diese einmal genauer anzusehen. Dafür nutzen wir aus, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion ihre Wirkungen gegenseitig kompensieren:$$a^{bx}=e^{\ln\left(a^{bx}\right)}=e^{bx\ln\left(a\right)}$$Ableitung und Integral sind dann:$$\left(a^{bx}\right)=e^{bx\ln(a)}\cdot b\ln(a)=a^{bx}\cdot\ln(a^b)$$$$\int a^{bx}dx=\frac{e^{bx\ln(a)}}{b\ln(a)}=\frac{a^{bx}}{\ln(a^b)}$$Man muss also nur das \(x\) weglassen und beim Ableiten mit dem Logarithmus vom Rest multiplizieren bzw. beim Integrieren durch den Logarithmus vom Rest dividieren.
Damit ist:$$\int\left(-4^{0,5x-3}+4\right)dx=-\int4^{0,5x}\cdot4^{-3}dx+\int 4dx=-\frac{1}{64}\int2^xdx+\int 4dx$$$$\phantom{\int\left(-4^{0,5x-3}+4\right)dx}=-\frac{2^x}{64\ln(2)}+4x+\text{const}$$