Begründen wieso Ableitungsfunktion x^n unendlich vorhanden ist.

Question

Aufgabe: Begründen Sie, dass die Funktion f(x)= 1/(n+1) * x^n+1 als Ableitung die Funktion f’(x)=x^n hat. Erklären Sie, warum es unendlich viele weitere Funktionen gibt, deren Ableitungsfunktion f(x)= x^n ist.

Problem/Ansatz: Habe keine Ahnung wie das hier funktioniert :/

Answer 1

Aloha :)

Am einfachsten leiten wir die Funktion \(f(x)\) einfach ab und schauen uns an, wie deren Ableitung aussieht:

$$f(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}\implies$$$$f'(x)=\left(\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}\right)'=\frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\right)'=\frac{1}{n+1}\cdot(n+1)\,x^{n}=x^n\quad\checkmark$$

Wir können zu der Funktion \(f(x)\) eine beliebige Konstante \(c\) addieren und erhalten dieseble Ableitung, weil die Ableitung einer Konstanten gleich null ist:

$$f_c(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\implies$$$$f'_c(x)=\left(\frac{1}{n+1}\,x^{n+1}+c\right)'=\frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\right)'+(c)'=\frac{1}{n+1}\cdot(n+1)\,x^{n}+0=x^n\quad\checkmark$$

Da wir für \(c\) jede beliebige reelle Zahl wählen können, gibt es unendlich viele Funktionen, deren Ableitung \(x^n\) ist.