Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung: 4y''' - 19y'' + 28y' - 12y = e^{3t/4}

Question

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

4y''' - 19y'' + 28y' - 12y = e^3t/4

Kann mir jemand erklären wie man derartige Differentialgleichungen lösen kann.
Gibt es vielleicht sogar ein Schema was sich "abarbeiten" lässt um diese Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Es handelt sich hier um eine gewöhnliche lineare inhomogene DGL 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

1. Lösung der homogenen DGL.
Die zugehörige charakteristische Gleichung lautet  4x³ - 19x² + 28x - 12 = 0.
Durch Probieren findet man die Lösung  x₁ = 2. Die restlichen lauten  x₂ = 2
und  x₃ = 3/4. An der Stelle  x = 2  liegt also eine doppelte Nullstelle vor.
Demnach lautet die Lösung der homogenen DGL:  y = c₁e^3/4x + c₂e^2x + c₃xe^2x.

2. Bestimmung einer partikulären Lösung.
Die Störfunktion  e^3/4x  ist zugleich Lösung der homogenen DGL (Resonanz).
Ansatz  y = Axe^3/4x.
Die ersten drei Ableitungen lauten:
y' = A(e^3/4x + 3/4·xe^3/4x)
y'' = A(3/2·e^3/4x + 9/16·xe^3/4x)
y''' = A(27/16·e^3/4x + 27/64·xe^3/4x).
Es soll gelten
4A(27/16·e^3/4x + 27/64·xe^3/4x) - 19A(3/2·e^3/4x + 9/16·x^e3/4x) + 28A(e^3/4x + 3/4·xe^3/4x) - 12Axe^3/4x = e^3/4x.
Daraus folgt  A = 4/25. Also ist  y = 4/25·xe^3/4x  eine partikuläre Lösung.

3. Die Lösung der inhomogenen DGL ist die Summe aus der Lösung der homogenen DGL (1) und der partikulären Lösung (2), d.h
y = c₁e^3/4x + c₂e^2x + c₃xe^2x + 4/25·xe^3/4x.