Bestimmen Sie eine Normalgleichung der Ebene E.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Normalgleichung der Ebene E.

E : x = (2 l 1 l 3) + r (2 l -3 l 4) + s (-2 l 4 l -2)

Problem/Ansatz:

Bin leider echt komplett raus. Würde mich freuen und sehr glücklich schätzen, würde jemand die Lösung inklusive Lösungsweg reinschreiben! :)

Answer 1

Aloha :)

Zunächst bestimmen wir einen Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene:

$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-16\\-8-(-4)\\8-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\-4\\2\end{pmatrix}$$

Damit lautet eine Normalengleichung:

$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow\;-10x_1-4x_2+2x_3=-18\;\Longleftrightarrow\;5x_1+2x_2-x_3=9$$

Comments

huhu,

vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort, es sieht nach der richtigen Lösung aus :D

Eine Frage: in unserem Mathebuch wird der Prozess mit einem LGS gelöst, wo dann die dritte Unbekannte von uns selbst ausgesucht werden muss ... weißt du vielleicht auch, wie man das in der Variante löst?

Falls nicht ist das auch okay, ich danke dir trotzdem vielmals für deine Antwort und hoffe du bleibst gesund :))

---

Ja, das ist die "Bauern"methode. Du kannst die Ebenengleichung in drei einzelne Gleichungen aufteilen, und zwar für jede Komponente eine Gleichung:$$x_1=2+2r-2s\quad;\quad x_2=1-3r+4s\quad;\quad x_3=3+4r-2s$$

Gleichung 3 minus Gleichung 1 liefert:$$a)\quad x_3-x_1=(3+4r-2s)-(2+2r-2s)=1+2r$$Gleichung 2 plus 2-mal Gleichung 3 liefert:$$b)\quad x_2+2x_3=(1-3r+4s)+(6+8r-4s)=7+5r$$

5-mal Gleichung a) minus 2-mal Gleichung b) liefert:$$(5x_3-5x_1)-(2x_2+4x_3)=(5+10r)-(14+10r)\quad\Leftrightarrow$$$$-5x_1-2x_2+x_3=-9\quad\Leftrightarrow$$$$5x_1+2x_2-x_3=9$$

---

Kann meinen Dank nicht in Worte fassen. Wünsche dir nur das Allerbeste <3