Berechne die Nullstelle, Extrema und die Wendepunkte.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=4/3x³-ax², a > 0.

Berechne die Nullstelle, Extrema und die Wendepunkte.

Bestimmen sie die Ortskurve der Minima der Schar fa.

Bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente von f4.

Bestimmen sie den Schnittwinkel von f4 mit der x-Achse.

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter... könnte es mir jemand lösen, damit ich verstehe, wie ich auf die richtigen Ergebnisse komme?

Answer 1

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=4/3x³-ax², a > 0.

Berechne die Nullstellen,  4/3x³-ax² = 0

                                       <=>  x^2 * ( 4/3x-a) = 0

                                               <=> x=0 oder x = 3a/4

Extrema  f ' (x)  = 4x^2 - 2ax

         f ' (x) = 0 <=> x=a/2 oder x=0

        f ' ' (x) =  8x - 2a

      f ' ' ( 0 ) = -2a < 0 also Max bei x=0

     f ' ' ( a/2) = 2a > 0 also Min bei x=a/2 mit

Tiefpunkt T ( a/2  ;  -a^3 / 12 ) .

und die Wendepunkte  f ' ' (x) = 0 <=>  x = a/4

und f ' ' ' (a/4) = 8  ≠ 0 also W( a/4 ; -a^3 / 24 

Bestimmen sie die Ortskurve der Minima der Schar fa.

x = a/2   und  y =   -a^3 / 12

==>  a = 2x einsetzen y = -2/3 * x^3 (Ortskurve)  

Bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente von f4.
Für a=4 ist W=( 1 ; -8/3 )

Also m= f ' (1) = -4  mit y = -4x + n und W=( 1 ; -8/3 )

folgt n=4/3 ==>   t: y=-4x + 4/3

Bestimmen sie den Schnittwinkel von f4 mit der x-Achse.

α = tan^(-1) ( -4) = -76° 

f4 sieht so aus mit Tang. im Wendepu.~plot~ 4*x^3/3-4x^2; {1|-8/3};-4x+4/3 ~plot~

Answer 2

Nullstellen x_n1=3a/4; x_n2=0

Extrema f_a'(x)=4x²-2ax

0=4x²-2ax hat die Lösungen x_E1=a/2 und x_E2=0

fa''(x)=8x-2a; fa''(a/2)>0 Minimum fa''(0)<0 Maximum

Wendepunkte.

0=8x-2a für x_w=a/4.

Answer 3

Nullstelle: Gleichung 4/3x³-ax² = 0 lösen. Das geht zum Beispiel indem du x² ausklammerst und und dann den Satz vom Nullprodukt anwendest.

Extrema: Nullstellen der Ableitung bestimmen. In die zweite Ableitung einsetzen. Ist diese kleiner als null, dann ist an der Nullstelle der Ableitung ein Maximum. Ist sie größer als null, dann ist an der Nullstelle der Ableitung ein Minimum. Berechne dazu die y-Koordinate indem du in \(f\) einsetzt.

Wendepunkte: Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen. In die dritte Ableitung einsetzen. Ist diese ungleich null, dann ist an der Nullstelle der zweiten Ableitung eine Wendestelle. Berechne dazu die y-Koordinate indem du in \(f\) einsetzt.

Ortskurve der Minima: Bei der Bestimmung der Nullstellen des Ableitung hast du eine Gleichung der Form

        \(x = T\)

bekommen, wobei \(T\) ein Term ist, in dem \(a\) vorkommt und an dieser Stelle war ein Minimum. Forme diese Gleichung nach \(a\) um und Setze in den Funktionsterm ein.

Wendetangente: Die Tangete \(t(x) = mx+n\) von \(f\) an der Stelle \(x_w\) hat zwei charakterisierende Eigenschaften:

Sie hat bei \(x_w\) die gleiche Steigung wie \(f\), also

        \(f'(x_w) = t'(x_w)\).

Damit kannst du \(m\) berechnen.

Sie hat bei \(x_w\) den gleichen Funktionswert \(f\), also

        \(f(x_w) = t(x_w)\).

Damit kannst du \(n\) berechnen.

Schnittwinkel von \(f\) mit der \(x\)-Achse: Der ist

        \(\alpha = \tan^{-1}\left(f'(x_0)\right)\)

wobei \(x_0\) die Nullstelle von \(f\) ist.