Normalenveltor einer Ebenen

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Normalenform der durch den Punkt A und den Normalenvektor \( \vec{n} \) gegebenen Ebene an.
a) \( A(2|3| 2), \quad \vec{n}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \)
c) \( A(0|0| 0), \vec{n}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Kann einer mir das bitte sagen + erklärung & Angabe der koordinatenform

Answer 1

Aloha :)

Du musst \(\vec n\cdot \vec x=\vec n\cdot\vec a\) berechnen:

$$\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\quad\implies\quad 2x+y+2z=11$$$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad x+y+z=0$$

Comments

2x+y+2z=11

Wie kommt man da auf die 11? Und wie wäre da die koordinatenform?

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Die \(11\) ist das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren auf der rechten Seite:

$$\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}=2\cdot2+1\cdot3+2\cdot2=11$$

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Und wie bekommt man die koordinatenform heraus?

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Die steht doch da. \(x\), \(y\) und \(z\) sind die Koordinaten ;)

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Ist x, y, z immer automatisch die koordinatenform?

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Wenn alle 3 Koordinaten in einer skalaren Gleichung verknüpft sind, hast du die Koordinatenform:$$\text{Koordinatenform:}\quad 2x+y+2z=11$$

In einer Parameterdarstellung der Ebene werden die Richtugnsvektoren mit Hilfe von zwei Parametern, etwa \(s\) und \(t\), miteinander verknüpft:$$\text{Parameterform:}\quad\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\11\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Hallo

die Koordinatenform ist $$\vec{n}*\vec{x}=d$$

n*x hinschreiben, A einsetzen um d zu finden

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

Punkt-Normalenform

\(E:\vec{n}\circ(\vec{x}-\vec{a})=0\)

Ausmultiplizieren führt zur Allgemeinen Normalenform:

\(E:\vec{n}\circ\vec{x}-\vec{n}\circ\vec{a}=0\\ E:\vec{n}\circ\vec{x}-d=0\)

und diese dann zur Koordinatenform

\(E: n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\)

Du musst also für n die Koordinaten des Normalenvektors und für a die Koordinaten des Punktes A einsetzen.

Melde dich, wenn du weitere Hilfe dazu brauchst.

Gruß, Silvia