Aloha :)
Wir zeigen die Behauptung$$A_n\coloneqq\prod\limits_{k=2}^n\left(1-\frac{2}{k(k+1)}\right)\stackrel!=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n}\right)$$mittels vollständiger Induktion.
Verankerung bei \(n=2\):$$A_2=\prod\limits_{k=2}^2\left(1-\frac{2}{k(k+1)}\right)=1-\frac{2}{2(2+1)}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot2=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{2}\right)\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$A_{n+1}=\prod\limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{2}{k(k+1)}\right)=\left(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}\right)\prod\limits_{k=2}^n\left(1-\frac{2}{k(k+1)}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}=\left(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}\right)\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}+\frac{2}{n}-\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{2n}{n(n+1)(n+2)}+\frac{2(n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)}-\frac{4}{n(n+1)(n+2)}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{-2n+2(n+1)(n+2)-4}{n(n+1)(n+2)}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2(n+1)(n+2)-2(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{(2(n+1)-2)(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\right)$$$$\phantom{A_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2n}{n(n+1)}\right)=\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)\quad\checkmark$$
